Die Transformation einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig

Question

Die Transformation einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig

Mathematik
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Lineare Algebra
Lösungsverifikation
lineare Transformationen

Mike Wimms

Frage

Lassen $v_1,\cdots,v_n$ Vektoren in einem Vektorraum sein $V$ und lass $T:V→W$ eine lineare Transformation sein.
Wenn $T(v_1),\cdots,T(v_n)$ ist linear unabhängig in $W$ , zeige, dass $v_1,\cdots,v_n$ ist linear unabhängig in $V$ .

Hier ist, was ich bisher habe:

Wenn $T(v_1),\cdots,T(v_n)$ linear unabhängig ist, gibt es Skalare gleich $0$ so dass:

C_{1} T (v_{1}) + C_{2} T (v_{2}) + \dots + C_{N} T (v_{N}) = 0 T (C_{1} v_{1} + \dots + C_{N} v_{N}) = 0

$c_1T(v_1)+c_2T(v_2)+\cdots +c_nT(v_n)=0\\T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=0$

Weil $T$ ist eine lineare Transformation.

Wo gehe ich von hier aus hin? Muss ich das beweisen $T$ ist injektiv von kann ich das nur sagen $v_1,\cdots,v_n$ ist linear unabhängig, weil ich zuvor gesagt habe, dass die Skalare gleich sind $0$ ?

Cbjörk

Da muss noch mehr drin sein

T

$T$ , als Projektion von Basisvektoren auf einen Unterraum behält keine lineare Unabhängigkeit.

D wackelt

@Cbjork Er muss nur die lineare Unabhängigkeit zurückziehen. Die Annahme ist, dass das Bild linear unabhängig ist.

Cbjörk

Ah, ich sollte die Frage lesen

D wackelt

Versuchen Sie, das Gegenteil zu beweisen. Wenn Sie eine nicht triviale Linearkombination zwischen haben

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\ldots, v_n$ , was passiert dann bei der Bewerbung

T

$T$

Mike Wimms

@IBWiglin kannst du das umformulieren? Lineare Algebra ist nicht meine Stärke. Also geht mir die ganze Terminologie über den Kopf. Verzeihung :(

Antworten (1)

Die Transformation einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig

Da muss noch mehr drin sein $T$ , als Projektion von Basisvektoren auf einen Unterraum behält keine lineare Unabhängigkeit.
@Cbjork Er muss nur die lineare Unabhängigkeit zurückziehen. Die Annahme ist, dass das Bild linear unabhängig ist.
Versuchen Sie, das Gegenteil zu beweisen. Wenn Sie eine nicht triviale Linearkombination zwischen haben $v_1,\ldots, v_n$ , was passiert dann bei der Bewerbung $T$
@IBWiglin kannst du das umformulieren? Lineare Algebra ist nicht meine Stärke. Also geht mir die ganze Terminologie über den Kopf. Verzeihung :(

David Snyder · Answer 1

Du willst zeigen $v_1, \ldots, v_n$ sind linear unabhängig. Angenommen, sie sind es nicht. Dann gibt es Skalare $c_1, \ldots, c_n$ (nicht alle Null) damit $c_1v_1+\ldots +c_nv_n=0$ . Dann

T (C_{1} v_{1} + \dots + C_{N} v_{N}) = T (0) = 0.

$T(c_1v_1+\ldots +c_nv_n)=T(0)=0.$ So

c_{1} T (v_{1}) + \dots + c_{n} T (v_{n}) = 0

$c_1T(v_1)+\ldots +c_nT(v_n)=0$ , was bedeutet, dass

T (v_{1}), \dots, T (v_{n})

$T(v_1), \ldots, T(v_n)$ sind nicht linear unabhängig. Dieser Widerspruch bedeutet die Annahme, dass die

v_{i}

$v_i$ s sind linear abhängig ist falsch, sie sind also tatsächlich linear unabhängig.

Ich habe aufgeschrieben, dass wenn v_1,…,v_n linear abhängig sind, die Skalare c_1,...,c_n nicht alle Null sind, was der Aussage widerspricht, dass c_1,...,c_n Null sind. Wird es funktionieren? Macht das Sinn?
Was ist die Definition von linearer Unabhängigkeit, die Sie verwenden?

Die Transformation einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig

Mike Wimms

Frage

Hier ist, was ich bisher habe:

Cbjörk

D wackelt

Cbjörk

D wackelt

Mike Wimms

Antworten (1)

David Snyder

Mike Wimms

David Snyder

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