Wie kann man Folgendes über lineare Transformationen, Zusammensetzung und gleiche Transformationsdimension beweisen?

Lassen Sie uns für einen Moment etwas allgemeiner werden. Vermuten$V$,$W$sind endlichdimensionale Vektorräume mit$\dim V = \dim W$.
Lassen$T : V \to W$eine lineare Transformation sein.

Äquivalent sind:

1. $T$ist eine Bijektion.
2. $T$ist eins zu eins.
3. $T$ist dran.

Und der Beweis ist einfach: das Rang-Nullitäts-Theorem .

Das bekommt man nämlich hin

$$\dim(\operatorname{image}(T)) + \dim(\ker(T)) = \dim(V) = \dim(W).$$ Die letzte Gleichheit folgt aus unserer Hypothese. (Der$\ker$steht für den Kernel, Sie kennen ihn vielleicht als "Null-Leerzeichen".)

Jetzt können Sie die Äquivalenz beweisen, indem Sie sich an die folgenden Tatsachen erinnern:

1. $T$ist eins zu eins$\iff$ $\ker(T) = \{0\}$.
2. $T$ist dran$\iff$ $\dim(\operatorname{image}(T)) = \dim(W)$.

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Nun zurück zu deiner Frage. Das ist dir gegeben$S \circ T = \operatorname{id}_V$. Daraus folgt das$S$ist auf und$T$ist eins zu eins. (Dies ist eine allgemeine Tatsache über Funktionen.)
So sehen wir das$S$Und$T$sind beides Bijektionen. Insbesondere haben sie eine Inverse. Das sagt uns jetzt die übliche Mengenlehre$T \circ S$muss auch die (passende) Identitätskarte sein.