Enthält die Menge der linearen Transformationen L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V,\mathbb{F}) garantiert mindestens eine injektive Transformation?

Question

Enthält die Menge der linearen Transformationen L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V,\mathbb{F}) garantiert mindestens eine injektive Transformation?

Mathematik
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Vektorräume
Lineare Algebra
lineare Transformationen

Tristan Batchler

Ich habe mich gefragt, ob es eine schnelle Antwort auf diese Frage gibt, vorzugsweise mit einem unterstützenden Beweis oder Argument. Denken Sie nur schnell an den Extremfall, wo $V = \{ \mathbf{0} \}$ , es ist wahr, dass jede lineare Transformation $T: \{ \mathbf{0} \} \to \mathbb{F}$ ist injektiv, weil es nur ein Element im Urbild gibt.

Zusammenfassend bin ich auf der Suche nach einem Argument für / gegen die Idee, dass jeder Satz linearer Transformationen aus einem Vektorraum stammt $V$ zu einem Feld $\mathbb{F}$ ( $\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) = V^*$ wenn Sie es vorziehen) enthält mindestens eine injektive Transformation.

Beifall!

Mariano Suárez-Álvarez

Haben Sie versucht zu sehen, was in einem tatsächlichen Beispiel passiert, z

V = R^{2}

$V=\mathbb R^2$ ?

Tristan Batchler

@MarianoSuárez-Álvarez Ich habe darüber nachgedacht, aber es ist schwierig, den Satz aller linearen Transformationen zu überprüfen

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ Zu

R

$\mathbb{R}$ ...

wütend

@TristanBatchler Die Menge aller linearen Transformationen von

R^{m} \to R^{n}

$\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ kann als Menge angesehen werden

n \times m

$n \times m$ Matrizen.

Joppy

Jede lineare Transformation von der Ebene zur Linie sieht so aus

f (x, y) = a x + b y

$f(x, y) = ax + by$ für einige Konstanten

a, b

$a, b$ . Können Sie zwei verschiedene Punkte finden, die zugeordnet sind?

0

$0$ ?

Tristan Batchler

Also

f (0, 0) = 0

$f(0, 0) = 0$ und ich nehme an, das tut es

f (- b y / a, y)

$f(-by/a, y)$ vorausgesetzt

a \neq 0

$a \neq 0$ .

Mariano Suárez-Álvarez

Ich finde es sehr überraschend, dass Sie wissen, was der duale Raum eines Vektorraums ist oder was die Dimension eines Vektorraums ist, und es Ihnen schwer fällt, alle linearen Transformationen zu untersuchen

R^{2} \to R

$\mathbb R^2\to\mathbb R$ :-|

Joppy

@TristanBatchler: Ja, und auch

f (b t, - a t) = 0

$f(bt, -at) = 0$ für alle

t \in R

$t \in \mathbb{R}$ , ohne Annahmen über die Werte von

a

$a$ Und

b

$b$ .

Antworten (1)

Enthält die Menge der linearen Transformationen L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V,\mathbb{F}) garantiert mindestens eine injektive Transformation?

Haben Sie versucht zu sehen, was in einem tatsächlichen Beispiel passiert, z $V=\mathbb R^2$ ?
@MarianoSuárez-Álvarez Ich habe darüber nachgedacht, aber es ist schwierig, den Satz aller linearen Transformationen zu überprüfen $\mathbb{R}^2$ Zu $\mathbb{R}$ ...
@TristanBatchler Die Menge aller linearen Transformationen von $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ kann als Menge angesehen werden $n \times m$ Matrizen.
Jede lineare Transformation von der Ebene zur Linie sieht so aus $f(x, y) = ax + by$ für einige Konstanten $a, b$ . Können Sie zwei verschiedene Punkte finden, die zugeordnet sind? $0$ ?
Also $f(0, 0) = 0$ und ich nehme an, das tut es $f(-by/a, y)$ vorausgesetzt $a \neq 0$ .
Ich finde es sehr überraschend, dass Sie wissen, was der duale Raum eines Vektorraums ist oder was die Dimension eines Vektorraums ist, und es Ihnen schwer fällt, alle linearen Transformationen zu untersuchen $\mathbb R^2\to\mathbb R$ :-|
@TristanBatchler: Ja, und auch $f(bt, -at) = 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ , ohne Annahmen über die Werte von $a$ Und $b$ .

wütend · Answer 1

Wenn $T : V \to \mathbb{F}$ injektiv ist, dann die Dimension des Bildes $T(V)$ Ist $\dim(V)$ . Das Bild liegt jedoch im eindimensionalen Vektorraum $\mathbb{F}$ also wenn $\dim(V) > 1$ das ist ein Widerspruch.

Also im Grunde gilt das nur für $V$ ist der Nullvektorraum oder $\mathbb{F}$ ?

Enthält die Menge der linearen Transformationen L(V,F)L(V,F)\mathcal{L}(V,\mathbb{F}) garantiert mindestens eine injektive Transformation?

Tristan Batchler

Mariano Suárez-Álvarez

Tristan Batchler

wütend

Joppy

Tristan Batchler

Mariano Suárez-Álvarez

Joppy

Antworten (1)

wütend

Tristan Batchler

Ein Teil des Beweises einer Menge ist ein Unterraum von R3R3\mathbb{R}^3

Die Transformation einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig

Wie kann man Folgendes über lineare Transformationen, Zusammensetzung und gleiche Transformationsdimension beweisen?

Müssen lineare Transformationen injektiv sein?

Lineare Transformation und ihre Matrix bezüglich unbekannter Basen

Intuition hinter dem Dimensionssatz [Duplikat]

Wenn eine symmetrische Matrix mit allen symmetrischen Matrizen kommutiert, ist sie dann ein Vielfaches der Identität?

Zeigen, dass eine lineare Transformation injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Menge aller nichtinjektiven linearen Transformationen ein Unterraum?

Linear unabhängige lineare Transformationen