Linear unabhängige lineare Transformationen

Ich studiere derzeit einige Theorien zu einzelnen linearen Transformationen. Ich habe das Gefühl, dass ich 99% davon verstehe, aber es gibt immer noch eine Sache, die ich nicht lösen konnte. Mein Buch erklärt es, indem es darauf hinweist$M_n(\mathbb{F})$, für ein Feld$\mathbb{F}$ist ein$n^2$dimensionaler Vektorraum. Sie sagen dann weiter, dass wenn$\lbrace A_1, ... A_{n^2}\rbrace$ist eine Grundlage für$M_n(\mathbb{F})$, dann die linearen Transformationen$\lbrace T_1, ..., T_{n^2} \rbrace$, deren Matrizen bzgl$\lbrace v_1, ..., v_n \rbrace$Sind$A_1, ... A_{n^2}$Grundlage bilden$L(V,V)$, die Menge aller linearen Transformationen aus einem Vektorraum$V$Zu$V$.

Anschließend erklären sie die linearen Transformationen$T_{ij} \in L(V,V)$gegeben von$T_{ij}(v_j)=v_i$,$T_{ij}(v_k)=0, k \neq j$, sind eine Grundlage von$L(V,V)$über$\mathbb{F}$.

Ich habe zwei Hauptfragen: (1) woher wissen wir das?$T_{ij}$sind linear unabhängig? und (2) dies kann vielleicht antworten 1, was tut$T_{ij} \in L(V,V)$meine, in der Art und Weise, wie sie es beschrieben haben? Aus irgendeinem Grund ergibt dieser Begriff / dieses Konzept dahinter für mich keinen Sinn. Ich verstehe, dass die Grundlage für$M_n(\mathbb{F})$sind die Matrizen mit 1 in der$i,j$Position, aber wie übersetzt sich dies in die linearen Transformationen, die durch gegeben sind$T_{ij}$?

Jede nützliche Erklärung wäre sehr willkommen.

Wenn ich die Notation zum Beschreiben lese$T_{ij}$, kann ich nicht anders, als zu denken, da es eine und nur eine lineare Transformation wie diese gibt$T(v_i)=v_i$, dass wir Wiederholungen der gleichen linearen Transformationen als Grundlage haben$L(V,V)$, und damit die Dimension von$L(V,V)$würde nicht sein$n^2$. Aber das ist eindeutig falsch...