Zeigen, dass eine lineare Transformation injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Question

Zeigen, dass eine lineare Transformation injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Mathematik
Vektorräume
Lineare Algebra
lineare Transformationen

Robert

Ich mache die folgende Übungsaufgabe, um lineare Transformationen zu verstehen.

Betrachten Sie die lineare Transformation $T:P_2 \rightarrow P_2$ definiert von:
$T (P (X)) = P (X + 1)$ $T(p(x)) = p(x+1)$ Wo $P_2$ der Vektorraum von Polynomen höchstens 2. Grades ist. Bestimmen Sie, ob T injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Das Problem Ich habe Probleme, wie ich das starten kann. Nur aus meiner Intuition würde ich sagen, dass die $T$ ist teilweise bijektiv, weil es von einem Vektorraum in denselben Vektorraum geht. Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das zeigen soll. Wenn mir jemand helfen kann, würde ich es sehr schätzen.

B. Pasternak

„Nur aus meiner Intuition heraus würde ich das sagen

T

$T$ ist teilweise bijektiv, weil es von einem Vektorraum in denselben Vektorraum geht.' Verwenden Sie also Ihre Intuition, die Karte

R \to R

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,

x \to 0

$x\to0$ ist auch bijektiv?

Antworten (2)

Zeigen, dass eine lineare Transformation injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

„Nur aus meiner Intuition heraus würde ich das sagen $T$ ist teilweise bijektiv, weil es von einem Vektorraum in denselben Vektorraum geht.' Verwenden Sie also Ihre Intuition, die Karte $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\to0$ ist auch bijektiv?

John Hughes · Answer 1

Hinweis:

Hier ist ein Anfang: zu prüfen, ob $T$ injektiv ist, nehme an, dass $T(p) = T(q)$ . Was sagt dir das $p$ Und $q$ und ihr Verhältnis zueinander? Wenn dies aufgrund Ihrer Kenntnisse der Algebra dies impliziert $p = q$ , Dann $T$ ist injektiv.

[Diese Technik ist wirklich ziemlich allgemein: Sie sollten sie zuerst tun, wenn Sie versuchen, etwas injektiv zu beweisen, es sei denn, Sie wissen viel mehr (z. B. Sie wissen, dass es sich um eine Matrixtransformation mit vollem Rang handelt, ...)]

Unendlich groß · Answer 2

Injektivität: Zeigen Sie das $T(p)(x)=0$ für alle $x$ $\Leftrightarrow p(x)=0$ für alle x.

Surjektivität: Zeigen Sie das für alle $q\in P_2$ Es gibt $p\in P_2$ so dass $T(p)(x)=q(x)$ für jeden $x$ .

Hinweis: Seit $P_2$ endlichdimensional ist, genügt es, eine davon zu zeigen.

Zeigen, dass eine lineare Transformation injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Robert

B. Pasternak

Antworten (2)

John Hughes

Unendlich groß

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