Intuition hinter dem Dimensionssatz [Duplikat]

Sie können sich die Dimension eines Vektorraums als die Menge an Informationen vorstellen, die er enthält. In dieser Denkweise, wenn$L : V \to W$dann können wir uns denken$\dim(\ker(L))$B. die Menge an Informationen, die beim Gehen zerstört werden$V$Zu$W$, Und$\dim(\mathrm{range}(L))$als die Menge an Informationen, die nicht zerstört werden. In diesem Zusammenhang ggf$L$zerstört keine Informationen, die wir dann bekommen würden$\dim(\mathrm{range}(L)) = \dim(V)$. Wenn jedoch einige der Informationen zerstört werden, können wir uns diese Formel wie folgt vorstellen: die Menge der zerstörten Informationen ($\dim (\ker(L))$) zuzüglich der Menge an Informationen, die nicht vernichtet werden ($\dim(\mathrm{range} (L))$) entspricht der ursprünglichen Menge an Informationen, das heißt$\dim(V)$.

Lassen$n=\dim\operatorname{Range}L$. Dann gibt es eine Grundlage$\{w_1,\ldots,w_n\}$von$\operatorname{Range}L$. Seit jeder$w_k$liegt im Bereich von$L$, es gibt einige$v_k\in V$so dass$L(v_k)=w_k$und da$\{w_1,\ldots,w_n\}$linear unabhängig ist, also ist$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$. Nun, wenn$m=\dim\ker L$, lassen$\{v_1',v_2',\ldots,v_m'\}$Grundlage sein$\ker L$. Das stellt sich dann heraus$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\cup\{v_1',v_2',\ldots,v_m'\}$ist eine Grundlage von$V$(das ist nicht schwer zu beweisen), und deshalb