Lineare inhomogene Differentialgleichungen: Lösungen addieren?

Ich bin etwas festgefahren und hatte gehofft, jemand könnte die Überlagerung von Lösungen für lineare, nicht homogene Differentialgleichungen klären.

Mir wurde beigebracht, dass, wenn Sie zwei Lösungen für eine lineare Gleichung haben, jede lineare Kombination dieser beiden Lösungen auch eine Lösung sein wird.

Aber das kann doch sicher nicht sein. Angenommen, ich habe die Differentialgleichung

L ( j ) = A ( X ) D 2 j X 2 + B ( X ) D j D X + C ( X ) j = F ( X ) und ich habe zwei Lösungen j 1 Und j 2 , dann ist die Summe keine Lösung als

L ( j 1 + j 2 ) = L ( j 1 ) + L ( j 2 ) = 2 F ( X ) ≠ F ( X )

Ich habe das Gefühl, dass ich hier etwas ganz grundlegendes missverstanden habe...

Sie verwirren iinear vs. affine Transformationen.

Antworten (3)

Der Lösungsraum einer inhomogenen linearen Differentialgleichung ist ein affiner Raum mit Richtung zum Vektorraum der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung.

In der Tat, wenn j 1 Und j 2 sind zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung, j 1 − j 2 ist eine Lösung von

A ( X ) j ″ ( X ) + B j ' ( X ) + C ( X ) j ( X ) = F ( X ) − F ( X ) = 0
Ist umgekehrt y_2(x) eine Lösung der inhomogenen Gleichung und z ( X ) eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung, ist leicht nachzuprüfen j 1 ( X ) = j 2 ( X ) + z ( X ) ist eine Lösung der inhomogenen Gleichung.

Um eine lineare inhomogene Differentialgleichung vollständig zu lösen, müssen Sie also: 1) die lineare homogene zugehörige Gleichung vollständig lösen; 2) finde eine Lösung der inhomogenen Gleichung; 3) füge eine beliebige Lösung von 1) zu der bestimmten Lösung von 2) hinzu.

Danke für Ihre Antwort! Ich bin mir der Methode zum Lösen inhomogener Gleichungen durch die Komplementärfunktion und das bestimmte Integral bewusst, aber ich bleibe dabei, dass es den Anschein hat, dass eine inhomogene Gleichung automatisch nicht linear ist. Nehmen wir zum Beispiel die Aussage in Wikipedia: „Eine lineare Differentialgleichung heißt homogen, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Wenn ϕ ( X ) ist eine Lösung, so ist C ϕ ( X ) ... Eine lineare Differentialgleichung, die diese Bedingung nicht erfüllt, wird als inhomogen bezeichnet. Ist diese Bedingung jedoch nicht ein definierendes Merkmal einer linearen Gleichung?
Vielleicht verwechsle ich einen linearen Operator mit einer linearen Gleichung? Heißt es vielleicht, dass diese Gleichungen linear heißen, weil sie nur lineare Operatoren enthalten?
Nein, es ist kein definierendes Merkmal einer linearen Gleichung, sondern einer homogenen Gleichung (es gibt homogene nichtlineare Gleichungen). Eine Gleichung ist linear, wenn ihr homogener Teil linear ist, was einem linearen Operator entspricht. Zum Beispiel φ ↦ a(x)\varphi''(x)+b(x)\varphi'(x)+c(x)\varphi(x)$ definiert einen linearen Operator auf dem Raum einer zweimal differenzierbaren Funktion.

Ich sehe, dass niemand Ihre Frage wirklich beantwortet hat - und ich habe nach dem gleichen gesucht, also werde ich eingreifen.

Wenn Sie zwei Lösungen für eine lineare inhomogene Differentialgleichung haben, nennen wir sie j 1 Und j 2 dann hast du keine Garantie dafür j 1 + j 2 ist eine Lösung.

Nachweisen:

Lassen j 1 Und j 2 zwei Lösungen der allgemeinen inhomogenen linearen Differentialgleichung sein D j D T = A ( T ) j + B ( T ) . Dann die Summe

D j 1 D T + D j 2 D T = A ( T ) j 1 + B ( T ) + A ( T ) j 2 + B ( T )
kann geschrieben werden als
D ( j 1 + j 2 ) D T = A ( T ) ( j 1 + j 2 ) + 2 B ( T )
was deutlich darauf hindeutet j 1 + j 2 ist keine Lösung für die ursprüngliche ODE, es sei denn B ( T ) = 0 für alle T .

Sie können dem homogenen System zu allem eine Lösung hinzufügen. Da diese Lösung Null ergibt, bleibt f(x) unverändert.

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