Unterschied zwischen den "Funktionen" in der Analysis und den "Funktionen" in linearen Transformationen

Eine Funktion ist definiert als eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die ein Element aus einer Menge auf genau eines der anderen Menge abbildet. Für dein Beispiel$f(x) = x^{2} + 2x^{3}$, das Element$x$in der Domäne wird dem codomain-Element zugeordnet$x^{2} + 2x^{3}$.

In Ihrem Beispiel für lineare Algebra wird Ihre Domäne bezeichnet$V$und Ihre Codomain wird bezeichnet$W$.

Eine lineare Transformation ist ein bestimmter Funktionstyp, bei dem eine zusätzliche Einschränkung erforderlich ist:$f(cx + y) = cf(x) + f(y)$. Beide sind Beispiele für Funktionen, aber diese Einschränkung, die linearen Karten auferlegt wird, kann für Funktionen im Allgemeinen gelten oder nicht.

Lineare Transformationen können grafisch dargestellt werden, werden aber üblicherweise als Vektorfelder grafisch dargestellt; Ein linearer Transformationsgraph würde nicht wie Ihre typische Eins-zu-Eins-Funktion aus der Analysis aussehen.

Die kurze Antwort lautet: Kontext zählt!

Das Wort "Funktion" taucht in vielen (wenn nicht allen) verschiedenen Zweigen der Mathematik auf, wobei die gemeinsame Eigenschaft darin besteht, dass es sich um eine Funktion handelt$f\colon X\to Y$ist eine Abbildung zwischen Mengen.

In Calculus stellen wir uns Funktionen oft als Abbildungen einer Teilmenge von vor$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{R}$die eine Regelmäßigkeitsbedingung erfüllen (kontinuierlich, differenzierbar, analytisch, messbar, integrierbar ...), und manchmal nehmen wir implizit an, dass die Funktion, über die wir sprechen, diese gewünschten Eigenschaften hat.

In der linearen Algebra sind die von uns betrachteten "Funktionen" lineare Abbildungen aus einem Vektorraum$V$in einen anderen Vektorraum$W$. Wenn also in vielen Fällen eine Aussage mit „Let$f\colon V\to W$eine Funktion sein", bedeutet dies normalerweise eine lineare Abbildung.

In der Topologie eine Funktion$f\colon X\to Y$bedeutet normalerweise eine kontinuierliche Abbildung zwischen zwei Räumen.

Was du gesagt hast: ja, es stimmt, dass das funktioniert$f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$sind abstrakte Vektoren eines Raumes!

Zusammenfassend lässt sich sagen: Eine Funktion ist eine Zuordnung zwischen Mengen, aber je nach Kontext kann es erforderlich sein, dass diese Zuordnung einige zusätzliche Eigenschaften hat.

Nebenbei bemerkt, einige Leute reservieren den Begriff "Funktion" gerne für Abbildungen mit Kodomäne$\mathbb{R}$(oder allgemein ein Feld) und nennen alles andere "map". Also eine lineare Transformation$f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$als Funktion bezeichnet wird, und eine lineare Transformation$f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$kann nur eine Karte genannt werden.

Bearbeiten: sagen Sie, Sie haben$y=ax+b$, Wo$a$Und$b$sind reelle Zahlen. Diese Gleichung definiert eine Karte$f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$gegeben von$f(x)=ax+b$. Diese Karte ist eine "Funktion" im Sinne der Analysis (und sie hat praktisch jede gewünschte Eigenschaft). Es ist auch eine Abbildung zwischen Vektorräumen, aber sie ist möglicherweise nicht linear (falls$b\neq 0$ist es nicht), daher würde es nicht als "interessante Funktion" zwischen Vektorräumen angesehen (es ist eine affine Karte, um genau zu sein).

Dennoch ist es ein Vektor vieler Vektorräume: Zum Beispiel ist es in den folgenden Räumen:

Generell funktionieren$f=(F,A,B)$wird durch dreifach definiert, wobei$A$,$B$sind Sätze,$F$ist funktionaler Graph und Bereich$pr_1F=A$.