Welcher Wert sollte k zugewiesen werden, damit h stetig ist?

Question

Welcher Wert sollte k zugewiesen werden, damit h stetig ist?

Infinitesimalrechnung
Funktionen
Mathematik
Grafikfunktionen

schwan90

Betrachten Sie die Funktion $h(x)$ definiert von
$H (X) = {\begin{cases} \frac{bräunen 5 X}{4 X} & X \neq 0 \\ k & X = 0 \end{cases}$ $h(x) = \begin{cases} \frac{\tan 5x}{4x} & x \neq 0 \\ k & x = 0 \end{cases}$ Welcher Wert sollte zugewiesen werden $k$ das zu versichern $h$ ist kontinuierlich?

Mein Ansatz: Ich habe versucht, einen Weg zu finden, die Funktion (tan 5x)/ 4x umzuschreiben.

Das kann umgeschrieben werden als ((sin 5x)/ (cos 5x))/ 4x
((sin 5x)/ (cos 5x)) * 1 / 4x
Ich habe daran gedacht, dass es eine Regel gibt, dass sin x / x gleich 1 ist
Ich habe den Ausdruck umgeschrieben zu (sin 5x / x) * (1 / (cos 5x) * 4)
1 * (1 / (4 cos 5x)); Es kann keinen Wert der Funktion geben, bei dem x = 0 ist
Das zeigt auch die Grafik: [1]: https://i.stack.imgur.com/KgM6t.png
Bei einem Wert zwischen 1,2 und 1,3 liegt der Wert von y, der definiert werden muss, um die Funktion stetig zu machen.
Aber ich kann das nicht lösen, indem ich es grafisch darstelle - es muss von Hand gemacht werden. Wie gehe ich also von Schritt 5 aus, um den Wert von k zu erhalten, der diese Funktion h stetig macht?

Matthäus Leingang

Schritt 3 ist falsch;

\frac{\sin x}{x}

$\frac{\sin x}{x}$ ist nicht „gleich 1“. Ich denke, das meinst du

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Wenn Sie dies ändern, sind Sie nahe daran, dies zu zeigen

lim_{x \to 0} h (x) = \frac{5}{4}

$\lim_{x \to 0} h(x) = \frac{5}{4}$ . Was bedeutet es für

h

$h$ kontinuierlich sein bei

0

$0$ ?

Matthäus Leingang

Sie wollen die Definition mit Grenzen darin.

Halbklassisch

Schritt 5 macht auch keinen Sinn: 1 * (1 / (4 cos 5x)) ist vollkommen in Ordnung

x = 0

$x=0$ .

Antworten (2)

Welcher Wert sollte k zugewiesen werden, damit h stetig ist?

Schritt 3 ist falsch; $\frac{\sin x}{x}$ ist nicht „gleich 1“. Ich denke, das meinst du $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . Wenn Sie dies ändern, sind Sie nahe daran, dies zu zeigen $\lim_{x \to 0} h(x) = \frac{5}{4}$ . Was bedeutet es für $h$ kontinuierlich sein bei $0$ ?
Schritt 5 macht auch keinen Sinn: 1 * (1 / (4 cos 5x)) ist vollkommen in Ordnung $x=0$ .

Lothar · Answer 1

Nach der Definition von $h(x)$ von Ihnen bereitgestellt, kann man sagen, dass für $h(x)$ stetige Funktion sein

lim_{X \to 0} H (X) = H (0)

$\lim_{x\to 0}h(x)=h(0)$

Das ist,

lim_{X \to 0} \frac{bräunen (5 X)}{4 X} = k

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(5x)}{4x}=k$ (mit

k \in R

$k\in \Bbb R$ ), die wir umschreiben können als

lim_{X \to 0} \frac{bräunen (5 X)}{5 X} \times \frac{5}{4} = k

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(5x)}{5x}\times\frac{5}{4}=k$ Nun, da

lim_{X \to 0} \frac{bräunen 5 X}{5 X} = 1

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan 5x}{5x}=1$

So,

\frac{5}{4} = k = 1.25.

$\frac{5}{4}=k=1.25.$ Wie du gesagt hast,

k

$k$ sollte zwischen 1,2 und 1,3 liegen. Schauen Sie sich die Kommentare an, die einige Ihrer Fehler in Bezug auf trigonometrische Grenzen hervorheben.

@Sebastiano Grazie amico. Vielen Dank auch für die Bearbeitung.
Oh! Jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank, dass du mir das erklärt hast!

Benutzer · Answer 2

Ihre Idee ist gut, aber es gibt viele Probleme, wie in den Kommentaren angegeben.

Um Kontinuität zu gewährleisten, müssen wir einfach per Definition annehmen:

k = lim_{X \to 0} \frac{bräunen (5 X)}{4 X} = lim_{X \to 0} (\frac{5}{4} \cdot \frac{Sünde (5 X)}{5 X} \cdot \frac{1}{\cos (5 X)}) = \frac{5}{4}

$k=\lim_{x\to 0} \frac{\tan (5x)}{4x}=\lim_{x\to 0} \left(\frac54\cdot \frac{\sin (5x)}{5x}\cdot\frac{1}{\cos(5x)}\right)=\frac 54$

so das

H (0) = lim_{X \to 0} H (X)

$h(0)=\lim_{x\to 0} h(x)$

Welcher Wert sollte k zugewiesen werden, damit h stetig ist?

schwan90

Matthäus Leingang

Matthäus Leingang

Halbklassisch

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Lothar

Sebastiano

Lothar

Sebastiano

schwan90

Benutzer

schwan90

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