Garantie des Zwischenwertsatzes

Ich mache ein Überprüfungspaket für Calculus und bin mir nicht sicher, was als Antwort gefragt wird?
Die Frage ist: Sei f eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [-3, 6]. Wenn f(-3)=-2 und f(6)=3, was garantiert der Zwischenwertsatz? Ich verstehe, dass der Zwischenwertsatz im Grunde bedeutet, bin mir aber nicht sicher, wie ich ihn erklären soll?

Antworten (3)

Seit F ( − 3 ) = − 2 < 0 < 3 = F ( 6 ) , können wir garantieren, dass die Funktion im Intervall eine Null hat [ − 3 , 6 ] . Wir können jedoch nicht schlussfolgern, dass es nur eine gibt (es können viele Nullen sein).

EDIT: Wie bereits an anderer Stelle erwähnt wurde, garantiert die IVT die Existenz von mindestens einem X ∈ [ − 3 , 6 ] so dass F ( X ) = C für alle C ∈ [ − 2 , 3 ] . Beachten Sie, dass die Tatsache, dass es eine Null gibt, wichtig sein kann (z. B. könnten Sie keine rationale Funktion über diesem Bereich mit dieser bestimmten Funktion im Nenner definieren), oder Sie könnten mehr an der Tatsache interessiert sein, dass sie den Wert erreicht j = 1 für einige X ∈ ( − 3 , 6 ) . Ich hoffe, dies hilft, die Lösung ein wenig klarer zu machen.

Während die Nullen normalerweise die wichtigsten Punkte sind, die wir finden möchten, garantiert das IVT auch jeden anderen Wert dazwischen F ( A ) Und F ( B ) tritt mindestens einmal dazwischen auf A Und B .

Das bedeutet für jeden Wert C ∈ [ F ( − 3 ) , F ( 6 ) ] = [ − 2 , 3 ] Es gibt mindestens einen Wert X C ∈ [ − 3 , 6 ] st F ( X C ) = C .

Das Obige sagt uns zum Beispiel, dass die Funktion eine Null hat [ − 3 , 6 ] ...

Beachten Sie, dass die Kontinuität von F ist absolut entscheidend für das Zwischenwerttheorem. Es könnte aufschlussreich sein, einen Moment darüber nachzudenken, warum das so ist.

Die eigentliche Aussage des Zwischenwertsatzes lautet wie folgt.

Lassen F eine stetige Funktion auf dem geschlossenen Intervall sein [ A , B ] . Dann für alle C ∈ ( F ( A ) , F ( B ) ) (Dies ist ein offenes Intervall), es existiert X ∈ ( A , B ) so dass F ( X ) = C .

In Ihrem Fall garantiert es das Vorhandensein einer Null im Intervall [ − 3 , 6 ] .

Interessant ist, dass if F differenzierbar ist [ A , B ] , Dann F ' hat die Zwischenwert-Eigenschaft. Dies ist als Satz von Darboux bekannt und eine nette Übung.

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