Diskontinuität der größten ganzzahligen Funktion

Question

Diskontinuität der größten ganzzahligen Funktion

Infinitesimalrechnung
Funktionen
Kontinuität
Mathematik
Decken-und-Boden-Funktionen

Gulshan Mischra

Lassen $f(x)$ eine beliebige Funktion sein. Lassen $g(x) = \lfloor x\rfloor$ sei die größte ganzzahlige Funktion.

Wir wissen das $g(x)$ ist immer diskontinuierlich $x$ ist ganzzahlig.

Können wir das sagen $g(f(x)) = \lfloor f(x) \rfloor$ ist immer diskontinuierlich $f(x)$ nimmt ganzzahlige Werte?

Jo

Wenn

f = 0

$f=0$ , Dann

g \circ f = 0

$g \circ f = 0$ und so

g \circ f

$g \circ f$ ist überall stetig. Wenn

f (x) = x

$f(x)=x$ für alle

x

$x$ , Dann

g \circ f = g

$g \circ f = g$ , und so

g \circ f

$g \circ f$ ist bei ganzzahligen Werten diskontinuierlich.

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Diskontinuität der größten ganzzahligen Funktion

Wenn $f=0$ , Dann $g \circ f = 0$ und so $g \circ f$ ist überall stetig. Wenn $f(x)=x$ für alle $x$ , Dann $g \circ f = g$ , und so $g \circ f$ ist bei ganzzahligen Werten diskontinuierlich.

Hauptidealbereich · Answer 1

Nein, können wir nicht. Wenn $f$ ist dann konstant $g \circ f$ ist konstant und damit stetig.

Übrigens ist es einfach, alle Funktionen zu charakterisieren $f:\mathbb R \to \mathbb R$ so dass $g \circ f$ ist kontinuierlich. Wir haben

G \circ F Forts. \Leftrightarrow G \circ F konst. \Leftrightarrow \exists k \in Z, F (R) \subseteq [k, k + 1) .

$g \circ f \quad \text{cont.}\quad \Leftrightarrow \quad g \circ f \quad \text{const.}\quad \Leftrightarrow \quad \exists k \in \mathbb Z, f(\mathbb R) \subseteq [k,k+1).$

@GulshanMishra Dann $g \circ f$ könnte noch durchgehend sein.
@GulshanMishra: Was wäre wenn $f(x)=0.1$ für $x\ge0$ , Aber $f(x)=0$ für $x<0$ ?
@GulshanMishra: Wenn $f$ Und $g$ sind beide kontinuierlich (on $\Bbb{R}$ ), Dann $f \circ g$ ist kontinuierlich. Aber die Umkehrung gilt nicht: $f \circ g$ kann kontinuierlich ohne sein $f$ oder $g$ kontinuierlich sein müssen.
Ich meine, du sagst 'alle $f$ so dass...' statt meines 'testen wir's $f$ ein Sinus zum Quadrat sein.

Benutzer65203 · Answer 2

Benutzer65203

Es gibt eine Diskontinuität, wenn $f$ einen ganzzahligen Wert "überquert", nicht wenn er ihn "von oben" erreicht und verlässt.

$\lfloor x^2\rfloor$ ist stetig wo $x^2=0$ .

CiaPan

...Wenn

f

$f$ einen ganzzahligen Wert "überquert" oder zumindest von unten "berührt", wie z

x \mapsto 1 / (1 + x^{2})

$x\mapsto 1/(1+x^2)$ bei null

Benutzer65203

@CiaPan: nein,

⌊ \frac{1}{1 + x^{2}} ⌋

$\lfloor\frac1{1+x^2}\rfloor$ ist bei nicht stetig

x = 0

$x=0$ . (Falls du das meinst.)

CiaPan

Exakt. Sie sagten: 'Es gibt eine _Dis_Kontinuität, wenn...' und ich erweitere das Kriterium für

f

$f$ was macht die

⌊ f ⌋

$\lfloor f\rfloor$ diskontinuierlich, daher das Beispiel. Dies ist eine Funktion, die eine ganze Zahl "berührt".

f = 1

$f=1$ von unten aber "überquert" es nicht, trotzdem ergibt es sich

g \circ f

$g\circ f$ diskontinuierlich.

Benutzer65203

@CiaPan: ok, tatsächlich deckt meine Antwort nicht alle Fälle ab, du hast Recht.

CiaPan · Answer 3

Nun, man kann es sagen, aber das würde nicht allgemein stimmen.

Lassen $f(x)=\sin^2 x$ , Dann $f$ ganzzahlig bei allen ganzzahligen Vielfachen von ist $\pi$ .

Jedoch,

(G \circ F) (X) = {\begin{cases} 1 & für X = (2 k + 1) π, k \in Z \\ 0 & ansonsten \end{cases}

$(g\circ f)(x)=\begin{cases} 1 & \text{for }x=(2k+1)\pi, k\in\mathbb Z \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ es ist also diskontinuierlich bei ungeraden Vielfachen von

π

$\pi$ nur.

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