Finde eine Funktion f(x)f(x)f(x) auf (0,∞)(0,∞)(0,\infty) mit Bogenlänge (x+1)2(x+1)2(x+1). )^2

Geben Sie eine analytische Definition für eine Funktion an$f(x)$definiert an$(0,\infty)$für die die Bogenlänge von$0$Zu$d$ist immer$(d+1)^2$.

Ich bin im Allgemeinen ziemlich kompetent mit Kalkül, und ich denke, dass mein Setup so sein sollte

$$(d+1)^2=\lim_{a\to 0^+}\int_a^d \sqrt{1+f’(x)^2}dx$$ Aber ich bin irgendwie verloren, wie ich das wirklich bewerten soll. Zum einen weiß ich, dass das Bogenlängenintegral normalerweise keine „schöne“ Stammfunktion hat, aber ich denke nicht, dass das ein Problem ist, weil ich nur nach einem Fall frage, in dem es so ist . Als nächstes denke ich, dass die Funktion eine Art vertikale Asymptote hat$0$(weil bei$x=\varepsilon$für$\varepsilon$willkürlich nahe$0$, die Bogenlänge ist bereits$(1+\varepsilon)^2>1$, und besonders$>\varepsilon$). Ansonsten bin ich ziemlich ratlos. Ich könnte vielleicht die Ableitung von beiden Seiten nehmen? Aber dann weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, dass die Ableitung notwendigerweise innerhalb der Grenze pendelt, und ich bin mir sowieso nicht sicher, was ich mit dem machen soll, was dabei herauskommen würde.

Ich habe diese Frage bekommen, indem ich eine ähnliche Frage geändert habe, die in einer mathematischen LinkedIn-Gruppe gestellt wurde, die nach Bogenlänge gefragt hat$d^2$, für die ich bemerkte, dass die Bogenlänge kürzer wäre als die einer geraden Linie für$0<x<1$, also könnte eine solche Funktion nicht existieren. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass kein ähnliches Argument für diese Funktion funktionieren würde, weil$(x+1)^2>x$(und besonders$(x+1)^2\not<x$) für alle echt$x$.

Jede Hilfe oder sogar Hinweise wären willkommen. Danke!