Ist die Bogenlänge zwischen zwei rationalen Punkten immer irrational?

Question

Ist die Bogenlänge zwischen zwei rationalen Punkten immer irrational?

Pi
Infinitesimalrechnung
Bogenlänge
Mathematik
irrationale Zahlen

Caelan Miron

Kürzlich habe ich mich gefragt: Warum hat Pi einen irrationalen Wert, da es einfach das Verhältnis von Durchmesser zu Umfang eines Kreises ist? Da der Wert des Durchmessers rational ist, muss die Irrationalität vom Umfang herrühren.

Dann habe ich Kalkül verwendet, um die Bogenlänge verschiedener Funktionen mit gekrümmten Graphen (zwischen zwei rationalen Punkten) zu berechnen, und festgestellt, dass die Bogenlänge zwei wieder irrational ist.

Haben alle gekrümmten Wege irrationale Längen?

Meine Logik ist, dass wir bei der Berechnung der Bogenlänge (Kalkül) davon ausgehen, dass der Bogen aus unendlich kleinen Liniensegmenten besteht und wir niemals dem realen Wert nahe kommen und im Gegensatz zur Fläche unter einer Kurve keine Ober- und Untergrenze existieren konvergiert gegen den gleichen Wert.

Wenn ja, sind dies die Gründe, warum irrationale Werte überhaupt existieren?

James

"Da der Wert des Durchmessers rational ist, muss die Irrationalität vom Umfang herrühren." Nein, Sie könnten genauso gut sagen, dass Ihr Umfang rational ist. Dann wäre Ihr Durchmesser notwendigerweise irrational. Oder Ihr Durchmesser und Ihr Umfang könnten BEIDE irrational sein.

Barmar

Ihr Titel fragt nach allen Bogenlängen, aber der Fragetext fragt nach allen gekrümmten Pfaden. Sie sind überhaupt nicht dasselbe.

Barmar

Vielleicht wollten Sie fragen: "Ist das Verhältnis zwischen Sekantenlänge und Bogenlänge immer irrational?"

Tom Zych

Bedenken Sie auch, dass, wenn irrationale Werte nur aufgrund von Kurven existieren, dies bedeuten würde, dass kein gerades Liniensegment eine irrationale Länge haben könnte, aber natürlich ist es einfach, sich Segmente vorzustellen, die dies tun, z. B. die Diagonale eines Einheitsquadrats.

JoshDH

Sie scheinen sich in Bezug auf die Definition der Bogenlänge zu irren. Man definiert typischerweise

L (γ) = \int_{a}^{b} | γ^{'} (t) | d t

$L(\gamma)=\int_a^b |\gamma'(t)|dt$ . Betrachtet man die Funktion

f : I \to R

$f:I \to \mathbb{R}$ ,

f : t \mapsto | γ^{'} (t) |

$f:t \mapsto |\gamma ' (t)|$ , dann sehen wir, dass die Bogenlänge die Fläche unter dieser Kurve ist, und das Integral kann unter Verwendung der oberen/unteren Riemann/Darboux-Summen (oder durch maßtheoretische Argumente) berechnet werden. Geometrisch nehmen diese Summen eine immer feinere lineare Annäherung an die Kurve an, wobei die oberen und unteren Summen Tangenten und Sekanten der Kurve entsprechen.

R.. GitHub HÖREN SIE AUF, ICE ZU HELFEN

Das OP-Konzept von "Bogen" ist zu allgemein, um Hoffnung auf Wahrheit zu haben, aber die Frage ist vielleicht interessanter unter einer besseren Einschränkung dessen, was "Bogen" bedeutet.

Antworten (6)

Ist die Bogenlänge zwischen zwei rationalen Punkten immer irrational?

"Da der Wert des Durchmessers rational ist, muss die Irrationalität vom Umfang herrühren." Nein, Sie könnten genauso gut sagen, dass Ihr Umfang rational ist. Dann wäre Ihr Durchmesser notwendigerweise irrational. Oder Ihr Durchmesser und Ihr Umfang könnten BEIDE irrational sein.
Ihr Titel fragt nach allen Bogenlängen, aber der Fragetext fragt nach allen gekrümmten Pfaden. Sie sind überhaupt nicht dasselbe.
Vielleicht wollten Sie fragen: "Ist das Verhältnis zwischen Sekantenlänge und Bogenlänge immer irrational?"
Bedenken Sie auch, dass, wenn irrationale Werte nur aufgrund von Kurven existieren, dies bedeuten würde, dass kein gerades Liniensegment eine irrationale Länge haben könnte, aber natürlich ist es einfach, sich Segmente vorzustellen, die dies tun, z. B. die Diagonale eines Einheitsquadrats.
Sie scheinen sich in Bezug auf die Definition der Bogenlänge zu irren. Man definiert typischerweise $L(\gamma)=\int_a^b |\gamma'(t)|dt$ . Betrachtet man die Funktion $f:I \to \mathbb{R}$ , $f:t \mapsto |\gamma ' (t)|$ , dann sehen wir, dass die Bogenlänge die Fläche unter dieser Kurve ist, und das Integral kann unter Verwendung der oberen/unteren Riemann/Darboux-Summen (oder durch maßtheoretische Argumente) berechnet werden. Geometrisch nehmen diese Summen eine immer feinere lineare Annäherung an die Kurve an, wobei die oberen und unteren Summen Tangenten und Sekanten der Kurve entsprechen.
Das OP-Konzept von "Bogen" ist zu allgemein, um Hoffnung auf Wahrheit zu haben, aber die Frage ist vielleicht interessanter unter einer besseren Einschränkung dessen, was "Bogen" bedeutet.

ToniK · Answer 1

Offensichtlich kann eine gerade Linie zwischen zwei rationalen Punkten eine rationale Länge haben $-$ Nimm einfach $(0,0)$ Und $(1,0)$ als Ihre rationalen Punkte.

Aber auch eine gekrümmte Linie kann eine rationale Länge haben. Betrachten Sie Parabeln der Form $y=\lambda x(1-x)$ , die alle durch die rationalen Punkte gehen $(0,0)$ Und $(1,0)$ . Wenn $\lambda=0$ , dann erhalten wir eine gerade Linie mit Bogenlänge $1$ . Und wenn $\lambda=4$ , dann geht die Kurve durch $(\frac12,1)$ , also ist die Bogenlänge größer als $2$ .

Nun lass $\lambda$ weichen fließend ab $0$ Zu $4$ . Die Lichtbogenlänge variiert ebenfalls fließend, aus $1$ auf einen Wert größer als $2$ ; also für einen gewissen Wert von $\lambda$ , muss die Bogenlänge sein $2$ , was eine rationale Zahl ist.

Aber woher wissen wir, dass der Wert von $\lambda$ ist nicht selbst irrational?. Da es zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele irrationale Zahlen geben kann.
@RupanshuYadav: Das habe ich nicht behauptet $\lambda$ musste rational sein.
Ich mag diese Antwort, da sie implizit etwas viel Stärkeres zeigt. Als $\lambda$ variiert, nimmt sie unendlich viele Werte an, wenn die Länge rational ist, und unendlich viele Werte, wenn die Länge irrational ist. Darüber hinaus stützt sich nichts an diesem Argument wirklich darauf, dass die Punkte rationale Koordinaten haben. Zwischen zwei beliebigen Punkten gibt es unendlich viele Kurven rationaler Länge und unendlich viele Kurven irrationaler Länge.
Woher wissen Sie, dass die Lichtbogenlänge auch gleichmäßig variiert? Und dass die Bogenlänge irgendwo 2 sein muss? Ersteres erfordert zumindest Kontinuität. Letzteres aus dem Zwischenwertsatz und der reellen Geraden.
@qwr: Wenn Sie möchten, können Sie die Formel für die Bogenlänge selbst nehmen und auf diesen Fall anwenden. Das finden Sie für alle $\varepsilon>0$ , es existiert $\delta>0$ so dass wenn $1\le\lambda_1<\lambda_2\le 4$ , Und $\lambda_2-\lambda_1<\delta$ , dann die Bogenlängen der beiden Kurven $y=\lambda_1 x(1-x)$ Und $y=\lambda_2 x(1-x)$ unterscheiden sich um weniger als $\varepsilon$ . Daher variiert die Lichtbogenlänge gleichmäßig, und $-$ wie du sagst $-$ den Rest erledigt der Zwischenwertsatz.
@TonnyK woher weißt du, dass der Punkt, an dem die Bogenlänge rational ist, keine irrationale Zahl ist?

Oskar Lanzi · Answer 2

Ein Beispiel einer Kurve mit rationalen Bogenlängen zwischen mindestens einigen Paaren rationaler Punkte ist eine Niere .

Bis hin zur Skalierung und Rotation kann eine Niere durch die Gleichung in Polarkoordinaten gerendert werden

R = 1 - \cos θ

$r=1-\cos\theta$

mit Lichtbogenlängendifferenz

D S = (\sqrt{R^{2} + (D R / D θ)^{2}}) D θ = \sqrt{2 - 2 \cos θ} D θ = 2 Sünde (θ / 2) D θ

$ds=\left(\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\right)d\theta=\sqrt{2-2\cos\theta}~d\theta=2\sin(\theta/2)d\theta$

Integrieren Sie diese aus $\theta=0$ auf einen beliebigen Wert von $\theta$ gibt die Bogenlängenfunktion an

S = 4 (1 - \cos (θ / 2))

$s=4(1-\cos(\theta/2))$

Also die Bogenlänge vom Ursprung bis $(-2,0)$ ( $\theta=\pi$ ) Ist $4$ . Nehmen wir außerdem an, wir wählen aus $\theta=2\cos^{-1}(a/c)$ Wo $a^2+b^2=c^2$ ist ein pythagoräisches Tripel. Dann haben wir

\cos θ = 2 (A^{2} / C^{2}) - 1

$\cos\theta=2(a^2/c^2)-1$

Sünde θ = 2 (B / C) (A / C) = 2 A B / C^{2}

$\sin\theta=2(b/c)(a/c)=2ab/c^2$

Klare Angabe rationaler Werte für die kartesischen Koordinaten $x=(1-\cos\theta)\cos\theta$ Und $y=(1-\cos\theta)\sin\theta$ . Die Bogenlänge vom Ursprung ist dann die rationale Größe

S = 4 (1 - \cos (θ / 2)) = 4 (1 - A / C)

$s=4(1-\cos(\theta/2))=4(1-a/c)$

5xum · Answer 3

Meine Frage ist also, dass alle gekrümmten Pfade irrationale Längen haben?

Natürlich nicht. Ein Kreis mit Radius $\frac{1}{2\pi}$ ist ein gekrümmter Weg und hat Länge $1$ was eine rationale Zahl ist. Setzt man den Mittelpunkt des Kreises um $(-\frac1{2\pi}, 0)$ , Dann $(0,0)$ , ein "rationaler" Punkt, liegt auf dem Kreis, und der Kreis kann als Pfad von gesehen werden $(0,0)$ Zu $(0,0)$ .

@TonyK Es ist eher so, als würde man zeigen, dass es wichtig ist, bestimmte, gut definierte Fragen zu stellen ...
Wie funktioniert $(0,0)$ zählen als "zwei rationale Punkte"?
Wenn Sie den Halbkreis betrachten, ist er nicht zwischen zwei rationalen Punkten definiert.
@RupanshuYadav Sicher. Aber ich denke nicht an den Halbkreis. Ich betrachte den Kreis. Ist das irgendwie nicht erlaubt?

Michael Seifert · Answer 4

Betrachten Sie die beiden Punkte $(-\frac12,0)$ Und $(\frac12,0)$ . Für jeden realen Wert von $y_0$ , können wir zwischen diesen beiden Punkten einen Kreisbogen ziehen, der zentriert ist $(0,y_0)$ und die vollständig in der oberen Halbebene liegt. Als $y \to - \infty$ , nähert sich die Länge dieses Bogens 1 (da sich der Bogen einer geraden Linie nähert); als $y \to +\infty$ nähert sich die Bogenlänge $\infty$ . Da die Lichtbogenlänge kontinuierlich mit variiert $y_0$ , muss es so sein, dass die Bogenlänge jede reelle Zahl größer als 1 sein kann, einschließlich aller rationalen Längen größer als 1.

Benutzer65203 · Answer 5

NEIN.

Nehmen Sie eine beliebige glatte Kurve zwischen zwei rationalen Punkten und verformen Sie sie, um ihre Länge um einen endlichen Betrag zu ändern. Während der Verformung überqueren Sie unendlich viele rationale Längen.

Ein einfaches Beispiel ist ein Polynom mit zwei rationalen Wurzeln mal einem variablen Faktor.

Betrachten Sie nun die Kurve parametrischer Gleichungen

{\begin{cases} X = \frac{T^{3}}{3} - T, \\ j = T^{2} \end{cases}

$\begin{cases}x=\dfrac{t^3}3-t,\\y=t^2\end{cases}$

(ein modifizierter Tschirnhausen-Kubik).

Wir haben

S = \int_{A}^{B} \sqrt{(T^{2} - 1)^{2} + 4 T^{2}} D T = \int_{A}^{B} (T^{2} + 1) D T = \frac{B^{3} - A^{3}}{3} + B - A,

$s=\int_a^b\sqrt{(t^2-1)^2+4t^2}\,dt=\int_a^b(t^2+1)\,dt=\frac{b^3-a^3}3+b-a,$

so dass die Länge zwischen zwei rational $t$ (angeben von rationalen Endpunkten) ist immer rational.

Wassili Markos · Answer 6

Beitragen eines weiteren einfachen Gegenbeispiels, let $f(x)=-\cos x$ mit $x\in[0,\pi]$ . Dann die Länge von $f$ zwischen $A(0,-1)$ Und $B(\pi,1)$ wird gegeben von:

ℓ (F) = \int_{0}^{π} | F^{'} (T) | D T = \int_{0}^{π} Sünde T D T = [- \cos T]_{0}^{π} = 2.

$\ell(f)=\int_0^\pi|f'(t)|dt=\int_0^\pi\sin tdt=[-\cos t]_0^\pi=2.$ Beachten Sie auch, dass das Verhältnis zwischen der Kurve und ihrem "Durchmesser"

A B

$AB$ Ist:

\frac{ℓ (F)}{(A B)} = \frac{2}{\sqrt{π^{2} + 2}},

$\frac{\ell(f)}{(AB)}=\frac{2}{\sqrt{\pi^2+2}},$ was wiederum irrational ist.

Ist die Bogenlänge zwischen zwei rationalen Punkten immer irrational?

Caelan Miron

James

Barmar

Barmar

Tom Zych

JoshDH

R.. GitHub HÖREN SIE AUF, ICE ZU HELFEN

Antworten (6)

ToniK

Caelan Miron

ToniK

John Colemann

qwr

ToniK

Benutzer3413723

Oskar Lanzi

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ToniK

Caelan Miron

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Michael Seifert

Benutzer65203

Wassili Markos

Durchschnitt in Bezug auf die Bogenlänge finden

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Finde eine Funktion f(x)f(x)f(x) auf (0,∞)(0,∞)(0,\infty) mit Bogenlänge (x+1)2(x+1)2(x+1). )^2

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