Bogenlänge bis xxx einer Hyperbel?

Ich möchte die Beziehung zwischen der Bogenlänge finden A einer hyperbolischen Funktion und ihrer entsprechenden horizontalen Position A im Verhältnis zu j Achse. In diesem Fall: Die Bogenlänge ist die Eingabe und A ist die Ausgabe.

Um die Bogenlänge zu finden A einer Funktion F zwischen X = 0 Und A , verwendet man die Formel:

A ( A ) = ∫ 0 A 1 + ( D D X F ( X ) ) 2 D X

Allerdings, wenn es für eine hyperbolische Funktion berechnet wird X 2 − 1 , das Integral ist nicht elementar.

A ( A ) = ∫ 0 A 1 + X 2 X 2 − 1 D X

Dennoch möchte ich immer noch die umgekehrte Beziehung zwischen finden A Und A (geschlossene Form oder nicht). dh:

A ( A ) = ?

Antworten (2)

Zuerst müssen Sie mit der Messung an einem anderen Ort als beginnen X = 0 weil die Hyperbel nicht reicht X = 0 . Es deckt nur ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , ∞ ) . Es wäre ein wenig sauberer zu betrachten X als Funktion von j . Der positive Zweig geht durch ( 1 , 0 ) und hat an der Stelle eine horizontale statt vertikale Neigung ( 1 , 0 ) . Jetzt ist die Funktion X = 1 + j 2 Ihre Bogenlänge wird ∫ 0 A 1 + j 2 j 2 + 1 D j was Alpha mit einem elliptischen Integral eines hyperbolischen Sinus tun kann.

Ah richtig vergessen, in dem Fall nehme ich ab X = 1 wäre am saubersten.
Die vertikale Steigung der Kurve bei X = 1 setzt eine Null in den Nenner und macht Ihr Integral uneigentlich. Deshalb habe ich vorgeschlagen X = F ( j ) . Das andere Integral kann durchgeführt werden, beinhaltet aber auch elliptische Funktionen.
Ah, noch eine Berührung.

Für eine zweiblättrige Parabel vereinfacht sich das Integral zu ∫ 1 + T A N H 2 ( u ) D u , die Wolfram Alpha lösen kann, wobei die Antwort dem elliptischen Integral entspricht, aber es werden keine imaginären Zahlen benötigt und es sind alles nur hyperbolische trigonometrische Funktionen und Konstanten.

Bitte verweisen Sie in der Antwort nicht auf WolframAlpha - versuchen Sie, es in sich geschlossen zu machen.
Bogenlänge bis xxx einer Hyperbel?
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