Bogenlängenintegral von xxxxx^x von 0 bis 1 in geschlossener Form.

Eine triviale Lösung für dieses Problem, die gerade bemerkt wurde, war die Verwendung der Definition des Integrals mit einer Variablen, und die anderen Schätztechniken ergeben wahrscheinlich die gleiche Summe wie die Trapezregel:

$$\int_a^b f(x) dx=\sum_{k=1}^n f(x_k=a+iΔx)Δx, Δx=\frac {b-a}{n}$$

Das heisst$Δx=\frac {1-0}{n}$Und

$$P_1= \lim_{n\to ∞ }\frac 1n \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\bigg(\frac kn\bigg)^{\frac{2k}{n}}(ln(x)+1)^2}=.8142...$$ und der Umfang, der die beiden Quadratwurzelausdrücke nicht kombinieren kann, ist $$P=\lim_{n\to ∞ } \bigg(\sqrt{1+\bigg(\frac kn\bigg)^{\frac{2k}{n}}(ln(x)+1)^2}+ \sqrt{1+\bigg(\frac kn\bigg)^{-\frac{2k}{n}}(ln(x)+1)^2}\bigg) =3.0847...$$ Nun zu den Oberflächen der Revolution: Demo, wie die Oberflächen aussehen! Ignorieren Sie einfach die „Seiten“ und „kleinen Fehler“ der y-Rotationsfläche, da dies eine Folge der Grenzen ist, da Math3d nicht über das Produktprotokoll verfügt, das verwendet werden würde, um es mit der inversen Funktion unter Verwendung der x-Oberfläche der Rotationsformel darzustellen Dort. Zu den Artefakten aus dem Diagramm gehören die unvollständige „Spindel“ und die Überlappung der beiden Oberflächen, was nur auf Annäherungs- und Technologiefehler zurückzuführen ist.

Die Fläche um die x-Achse ist die Summe der beiden Flächen, da sich die beiden „Seiten“ des Graphen nicht schneiden. Die Summe der Quadratwurzeln in eine Quadratwurzel wurde versucht, funktionierte aber nicht in der Summe, was merkwürdig ist,$\sqrt a \pm\sqrt b=\sqrt{a+b\pm \sqrt{ab}}$

$$S_x= 2π\lim_{n\to ∞ }\frac 1n \sum_{k=1}^n\bigg(\frac kn\bigg)^{\frac{k}{n}} \bigg(\sqrt{1+\bigg(\frac kn\bigg)^{\frac{2k}{n}}(ln(x)+1)^2}+ \sqrt{1+\bigg(\frac kn\bigg)^{-\frac{2k}{n}}(ln(x)+1)^2}\bigg)\bigg)=17.46376...$$

Der Flächeninhalt für f(x)=y um die y-Achse würde das Δx mit dem Faktor multipliziert aufweisen$x_k$:

$$S_y= 2π \lim_{n\to ∞ } \frac 1{n^2} \sum_{k=1}^nk \biggl(\sqrt{1+\bigg(\frac kn\bigg)^{\frac{2k}{n}}(ln(x)+1)^2}+ \sqrt{1+\bigg(\frac kn\bigg)^{-\frac{2k}{n}}(ln(x)+1)^2}\biggr) =7.6398...$$

Die Volumen der Revolution sind überraschenderweise mit Summennotation lösbar, und wahrscheinlich andere spezielle Funktionen und die Definition oder die Reimann-Integraldefinition, aber das wäre „langweilig“, und es macht Spaß, die Schritte dahinter zu sehen. Das Vertauschen von Integral- und Summenbeweis bleibt als Übung überlassen und könnte wahrscheinlich mit dem Satz von Fubuni oder einem Konvergenzsatz durchgeführt werden. Ein entscheidender Schritt bei diesen Lösungen ist die Verwendung der Potenzreihe für$e^x$und der Binomialsatz von$(1\pm x)^n$.

Für das Volumen um die x-Achse und der Einfachheit halber um keine andere Achse der roten Schicht wäre es einfacher, die Schalentechnik zu verwenden. Die Fläche einer Schale oder eines Rings ist$πR^2$wobei R im Integral als Differenz der beiden Funktionsradien definiert ist, wobei jedes Quadrat an den Satz des Pythagoras erinnert. Die Form ist die Summe der Volumen der Zylinder, wenn sich die Breite Null nähert, so dass wir das Integral erhalten, in eine Potenzreihe der natürlichen Exponentialfunktion und des Faktors expandieren, um das definierte x in unserem Problem zu überwinden, weil wir das verwenden Ringverfahren über diese Achse:

$$V_x=π\int_0^1 r_1^2-r_2^2 dx= π\int_0^1 x^{-2x}-x^{2x}dx=π\int_0^1 \sum_{n=0}^ ∞\frac{2^nx^nln^n(x)((-1)^n-1)}{n!}dx$$

Der nächste Schritt, um die genaue Form dieses Volumens zu finden, wäre, den Integranden in das Integral zu isolieren und die Konstanten auszuklammern, um dann ähnlich wie im letzten Schritt der Frage zu integrieren und zu vereinfachen.

$$V_x=\sum_{n=0}^ ∞\frac{2^n((-1)^n-1)}{n!}\int_0^1 x^nln^n(x)dx=\frac π2 \sum_{n=1}^ ∞ \frac{2^n((-1)^n+1)}{n^n}=3.34229990…$$

Schließlich lässt sich das Volumen um die Linie y=1 leichter anhand der Zylindermethode ergeben$V_y=2πrh$die über die x-Werte integriert werden, da man bei Anwendung dieser Regel über die gegenüberliegende „Seite“ als die Achse im 2D-Euklidischen Raum integriert. Wenn wir die andere Regel für dieses Volumen oder die Zylinderregel verwenden würden, um V_x zu finden, müssten wir hässliche Werte der unvollständigen Gammafunktion als erhalten

$$.6902...=\sqrt[-e]e\le y \le \sqrt[e]e=1.4446…$$

Die definierte Oberfläche wäre ein modifizierter Zylinder mit einem Radius von 1-x, da der Radius höchstens das Maximum des x-Werts in der Schicht sein kann, wobei der Radius der „verbleibende Wert“ ist, dh x + r = 1. und Höhe von$x^{-x}-x^x$Genau wie beim Ermitteln der Fläche der Lamina haben wir die „innere“ Kurve von der „äußeren“ Kurve subtrahiert, um die Rechteckhöhe zu ermitteln. Das alles bedeutet, dass unser Volumen ist:

$$V_y=2π\int_0^1 rh\mathrm dx=2π\int_0^1 (x^x-x^{-x})(1-x)dx=2π\int_0^1 x^{-x}-x^x-x^{1-x}+x^{1+x}dx$$

Dann machen wir dasselbe wie beim letzten Volumenproblem und kennen bereits das Integral von$x^{-x}-x^x$von 0 bis 1, da dies einfach das Konjugierte des Bereichs in der Frage ist. Diese Summierung wird nicht ausreichen, um zu integrieren, da wir ein neues Integrationsproblem mit haben werden$x^{1\pm x}$Bedingungen. Aus diesem Grund ist eine zweite Summierung erforderlich. Offensichtlich können wir, genau wie im letzten Beispiel, am Ende alle Summationen zu einer mit dem gleichen Index und nur einer weiteren für die innere Summe zusammenfassen. Dies liegt einfach daran, dass sie sich im selben Problem befinden und ähnlich wie die Frage konvergieren und integrieren werden:

$$\int_0^1 x^{1+x}-x^{1-x}dx=\int_0^1 \sum_{n=0}^ ∞ \bigg(\frac{(1+x)^n ln^n(x)}{n!}-\frac{(1-x)^n ln^n(x)}{n!}\bigg)dx= \sum_{n=0}^ ∞ \frac 1{n!} \int_0^1 (1+x)^n ln^n(x)-(1-x)^n ln^n(x)dx= \sum_{n=0}^ ∞ \frac 1{n!} \int_0^1 ln^n(x)\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k-ln^n(x)\sum_{k=0}^n(-1)^nx^kdx=\sum_{n=0}^∞\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac {(-1)^{n+1}}{(k+1)^{n+1}}+ \sum_{n=0}^∞\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac {(-1)^{n+k+1}}{(k+1)^{n+1}}=-.225439...$$ .

Negiert man diesen Ausdruck und multipliziert mit 2π erhält man die Lautstärke um die y-Achse als Bonuswert:

$$V_y^*=2π\int_0^1 x(x^{-x}-x^x)dx= -2π\bigg(\sum_{n=0}^∞\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac {(-1)^{n+1}}{(k+1)^{n+1}}+ \sum_{n=0}^∞\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac {(-1)^{n+k+1}}{(k+1)^{n+1}}\bigg)=2π\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n\binom nk \frac{(-1)^{k+n}+(-1)^n}{k^n} =2π\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n\binom nk \frac{(-1)^n+1}{(-k)^n}=1.416476…$$

Danke an @Uwe für das Finden einer Methode zur Vereinfachung dieses Ergebnisses:

$$V_y^*=\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)^{-2n}$$

Alles in allem lässt sich die Antwort teilweise vereinfachen, wenn eine Ersetzung vorgenommen wird und eine versehentlich entdeckte und unten verlinkte Desmos-Verknüpfung durchgeführt wird:

$$V_y=2π\biggl(\sum_{n=0}^∞\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k} \frac {(-1)^{n+1}}{(k+1)^{n+1}}+\sum_{n=0}^∞\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k} \frac {(-1)^{n+k+1}}{(k+1)^{n+1}}+\sum_{n=1}^∞ \frac{(-1)^n+1}{n^n}\biggl)= 2π\sum_{n=1}^∞\biggl(\frac{(-1)^n+1}{n^n}+\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k-1} \frac {(-1)^{n+1}((-1)^k+1)}{k^n}\biggl)=-2π\sum_{n=1}^∞\sum_{k=1}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}\frac{(-1)^k+1}{(-k)^n}=$$ $$-2π\sum_{n=1}^∞\sum_{k=1}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}\frac{(-1)^{k+n}+(-1)^n}{k^n}=1.774473…$$ Beweis für$V_y$

Es gibt auch eine vereinfachte von @Uwe:

$$V_y= 4\pi\sum_{r=1}^\infty\left((2r)^{-2r}-(2r+1)^{-2r}\right)$$