Binomial-/Kombinatorik-Summationsbeweisfrage

Question

Binomial-/Kombinatorik-Summationsbeweisfrage

Summe
Mathematik
Kombinatorik
Binomialsatz
Binomialkoeffizienten

Quippy

Gegeben $\sum_{k=0}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k} = (-1)^r\binom{n}{r}$ für $0≤r≤\frac12n$

Wie zeige ich das $\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k} = \frac12(-1)^r\binom{n}{r}[1+\binom{n}{r}]$ für $0≤r≤\frac12n$

Für den Kontext wird die erste Aussage aus der Betrachtung des Koeffizienten von abgeleitet $x^{2r}$ in der Aussage $(1-x)^n(1+x)^n=(1-x^2)^n$ Wo $2r≤n$

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Binomial-/Kombinatorik-Summationsbeweisfrage

Robert z · Answer 1

Verwenden Sie Symmetrie: Wir teilen die Summe in zwei Teile und ändern dann den Index im zweiten, indem wir lassen $j=2r-k$ ,

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{2 R} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) & (\binom{N}{2 R - k}) = \sum_{k = 0}^{R} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) (\binom{N}{2 R - k}) + \sum_{k = R + 1}^{2 R} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) (\binom{N}{2 R - k}) \\ = \sum_{k = 0}^{R} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) (\binom{N}{2 R - k}) + \sum_{J = 0}^{R - 1} (- 1)^{2 R - J} (\binom{N}{2 R - J}) (\binom{N}{J}) \\ = \sum_{k = 0}^{R} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) (\binom{N}{2 R - k}) + \sum_{J = 0}^{R} (- 1)^{J} (\binom{N}{2 R - J}) (\binom{N}{J}) - (- 1)^{R} {(\binom{N}{R})}^{2} \\ = 2 \sum_{k = 0}^{R} (- 1)^{k} (\binom{N}{k}) (\binom{N}{2 R - k}) - (- 1)^{R} {(\binom{N}{R})}^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}&\binom{n}{2r-k}=\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}+\sum_{k=r+1}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}\\ &=\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}+\sum_{j=0}^{r-1} (-1)^{2r-j} \binom{n}{2r-j}\binom{n}{j}\\ &=\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}+\sum_{j=0}^{r} (-1)^{j} \binom{n}{2r-j}\binom{n}{j}- (-1)^{r}\binom{n}{r}^2\\ &=2\sum_{k=0}^{r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}- (-1)^{r}\binom{n}{r}^2. \end{align}$

Ich habe ein bisschen Probleme zu verstehen, wie genau die zweite Zeile aus der ersten folgt. Benutzt du $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$ um das Ergebnis zu bekommen? Wenn es nicht zu viel verlangt ist, könnten Sie eine zusätzliche Arbeitslinie zwischen den beiden zeigen?
@Quippy Ich habe meine Antwort mit einer zusätzlichen Zeile bearbeitet. Ist es jetzt besser?
Es tut mir so leid, ich meinte, ich verstehe nicht, wie $\sum_{k=r+1}^{2r} (-1)^k \binom{n}{k}\binom{n}{2r-k}=$ $\sum_{j=0}^{r-1} (-1)^{2r-j} \binom{n}{2r-j}\binom{n}{j}$
@Quippy Summationsindex ändern: let $j=2r-k$ Dann $k=r+1,\dots, 2r$ wird $j=0,\dots, r-1$ .
(+1) Ich hatte eine Antwort geschrieben, weil ich dachte, es sei einfacher, aber als ich genauer hinsah, stellte ich fest, dass es im Wesentlichen dasselbe war.

Binomial-/Kombinatorik-Summationsbeweisfrage

Quippy

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Robert z

Quippy

Robert z

Quippy

Robert z

Quippy

robjohn

Vereinfachen des Produkts mehrerer Binomialentwicklungen

Kombinatorischer Beweis der Identität 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Auswertung von ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} für p∈[0,1]p∈[0,1]p \in [0,1]

Summierung der Binomialentwicklung mit multiplikativen Faktoren

Summe des Produkts der Binomialkoeffizienten: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Kombinatorischer Beweis von ∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+m−im)(ni)∑i=0m2n−i(ni)(mi)=∑i=0m(n+). m−im)(ni) \sum \limits_{i = 0} ^{m} 2^{ni} {n \choose i}{m \choose i} = \sum\limits_{i=0}^m { n + m - ich \choose m} {n \choose i}

Verwendung des Binomialsatzes zur Auswertung der Summe ∑nk=01k+1(nk)∑k=0n1k+1(nk)\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom nk in geschlossener Form

Beweis interessanter Identität mit Teilsummen von Pascals Dreiecksreihen

Gibt es Machtidentitäten, die nicht auf dieser Liste stehen?

Kombinatorischer Beweis für die Identität ∑nk=0(nk)(−2)k=(−1)n∑k=0n(nk)(−2)k=(−1)n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-2\right)^k = (-1)^n