Auswertung von ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} für p∈[0,1]p∈[0,1]p \in [0,1]

Lassen

$$c_a=\sum_{y=a}^{+\infty}{y \choose a}p^{y-a}$$ Definieren Sie die erzeugende Funktion $$\begin{split} f(z)&=\sum_{a=0}^{+\infty}c_a z^a\\ &=\sum_{a=0}^{+\infty}\sum_{y=a}^{+\infty}{y \choose a}p^{y-a}z^a\\ &=\sum_{y=0}^{+\infty}\sum_{a=0}^{y}{y \choose a}p^{y-a}z^a\\ &=\sum_{y=0}^{+\infty}p^y\sum_{a=0}^{y}{y \choose a}\left(\frac z p\right)^a\\ &=\sum_{y=0}^{+\infty}p^y\left(1+\frac z p\right)^y\\ &= \frac 1 {1-p-z}\\ &= \frac 1 {1-p} \cdot \frac 1 {1-\frac z { 1-p}}\\ &= \frac 1 {1-p} \sum_{a=0}^{+\infty}\frac 1 {(1-p)^a}z^a \end{split}$$ Dies ergibt die gewünschte Formel für$c_a$. $$c_a=\frac1 {(1-p)^{a+1}}$$

Wir erhalten

$$\begin{align*} \color{blue}{\sum_{y=a}^\infty\binom{y}{a}p^{y-a}}&=\sum_{y=0}^\infty\binom{y+a}{y}p^y\tag{1}\\ &=\sum_{y=0}^\infty\binom{-a-1}{y}(-p)^y\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{(1-p)^{a+1}}}\tag{3} \end{align*}$$

Kommentar:

• In (1) verschieben wir zunächst den Index$y=0$und verwende die binomiale Identität$\binom{p}{q}=\binom{p}{p-q}$.

• In (2) verwenden wir die binomiale Identität$\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$.

• In (3) wenden wir die Binomialreihenentwicklung an .

Also haben wir

$$S = \binom{a}{a} + \binom{a+1}{a}p + \binom{a+2}{a}p^2 + \space ...$$ $$pS = \binom{a}{a}p + \binom{a+1}{a}p^2 + \binom{a+2}{a}p^3 + \space ...$$

subtrahieren, erhalten wir

$$(1-p)S = \binom{a}{a} + \binom{a}{a-1}p + \binom{a+1}{a-1}p^2 + \space ...$$ (Ich habe die Identität verwendet$\binom{a}{a-1} + \binom{a}{a} = \binom{a+1}{a}$)

Wenn wir dasselbe mit dem obigen Ausdruck machen, indem wir nehmen$p(1-p)S$und subtrahieren es, erhalten wir

$$(1-p)^2S = \binom{a}{a} + (\binom{a}{a-1} -\binom{a}{a})p + \binom{a}{a-2}p^2 + \space ...$$

beachte das für$(1-p)^n$, Die$(n+1)th$Binomialkoeffizient reduziert sich in$a$oben und die$nth$Term reduziert sich um den Koeffizienten des vorherigen. Wenn wir extrapolieren und dies mal tun, erhalten wir:

$$(1-p)^aS = \binom{a}{a} + (\binom{a}{a-1} - (a-1)\binom{a}{a})p + ( \binom{a}{a-2} - (a-2)\binom{a}{a-1} + \frac{(a-2)(a-1)}{2}\binom{a}{a})p^2 + \space ...$$

Wenn wir am Ende die Koeffizienten erweitern, reduzieren sie sich auf:

$$(1-p)^aS = 1 + p + p^2 + p^3 + \space ...$$

und vóila! Die rechte Seite ist jetzt ein unendlicher GP, der gegen konvergiert$\frac{1}{1-p}$. Durch Umstellen der Terme erhalten wir:

$$S = \frac{1}{(1-p)\cdot(1-p)^a} = \frac{1}{(1-p)^{a+1}}$$

das ist die endgültige Antwort.