Summierung der Binomialentwicklung mit multiplikativen Faktoren

Question

Summierung der Binomialentwicklung mit multiplikativen Faktoren

Summe
Mathematik
Binomialsatz
Binomialkoeffizienten

Samik

Betrachten Sie die folgende Zusammenfassung:

\sum_{k = 0}^{N} k (\binom{N}{k}) (1 - P)^{N - k} P^{k}

$\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}(1-p)^{n-k}p^k$

Wenn die $k$ Term nicht vorhanden wäre, wäre es ein einfaches Binomial. Allerdings wegen der $k$ Laufzeit kann ich die Summe nicht ableiten.

Ich glaube, die Summe sollte gleich sein $np$ (Die Summierung ist Teil eines größeren Ausdrucks, der beim Lösen mit einem anderen Ansatz die ergibt $np$ Ergebnis). Ich habe dies für kleinere Werte von getestet $n = \{1,2,3\}$ .

Antworten (2)

Summierung der Binomialentwicklung mit multiplikativen Faktoren

Robert z · Answer 1

Erinnern Sie sich daran $k\geq 1$ , $\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$ und daher kann die Summe als einfaches Binomial ausgewertet werden :

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{N} k (\binom{N}{k}) (1 - P)^{N - k} P^{k} & = N P \sum_{k = 1}^{N} (\binom{N - 1}{k - 1}) (1 - P)^{N - 1 - (k - 1)} P^{k - 1} \\ = N P ((1 - P) + P)^{N - 1} = N P . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}(1-p)^{n-k}p^k &=np\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}p^{k-1}\\ &=np((1-p)+p)^{n-1}=np. \end{align}$ Analog zeigen wir die allgemeinere Identität:

\sum_{k = 0}^{N} k (k - 1) \dots (k - J) (\binom{N}{k}) (1 - P)^{N - k} P^{k} = N (N - 1) \dots (N - J) P^{J + 1} .

$\sum_{k=0}^n k(k-1)\cdots (k-j)\binom{n}{k}(1-p)^{n-k}p^k =n(n-1)\cdots (n-j)p^{j+1}.$

Robert Israel · Answer 2

Ihr Ausdruck ist der Mittelwert einer binomialen Zufallsvariablen mit Parametern $n$ Und $p$ . Das ist bekanntlich so $np$ .

Summierung der Binomialentwicklung mit multiplikativen Faktoren

Samik

Antworten (2)

Robert z

Robert z

Robert Israel

Auswertung von ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} für p∈[0,1]p∈[0,1]p \in [0,1]

Binomial-/Kombinatorik-Summationsbeweisfrage

Eine Binomialsumme: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ wählen Sie k}, wenn nnn eine positive ganze Zahl ist

Zur verallgemeinerten Leibniz-Regel

Vereinfachen des Produkts mehrerer Binomialentwicklungen

Kombinatorischer Beweis der Identität 3n=∑nk=0(nk)2k3n=∑k=0n(nk)2k3^n=\sum_{k=0}^n \binom nk 2^k

Kombinatorischer Beweis des fallenden Fakultäts- und Binomialsatzes

Summe des Produkts der Binomialkoeffizienten: ∑nk=0(−1)k(nk)(n+kk)=(−1)n∑k=0n(−1)k(nk)(n+kk)=(− 1)n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n + k}{k} = (-1)^n

Umgang mit nicht konstanten Termen in der Frage des Binomialsatzes