Eine Binomialsumme: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

Seit$\binom{n+1}{k+1} = \frac{n+1}{k+1} \binom nk$, können wir diese Summe umschreiben als

$$\frac1{n+1} \sum_{k=0}^n \binom nk \binom{n+1}{k+1} = \frac1{n+1} \sum_{k=0}^n \binom nk \binom{n+1}{n-k}.$$ Durch Vandermondes Identität vereinfacht sich die Summe hier zu$\binom{n + (n+1)}{n}$, also ist die ursprüngliche Summe gleich$\frac1{n+1}\binom{2n+1}{n}$.

Verwenden Sie die Binomialidentität:

$$(1+t)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}t^n. \tag{1}$$ Integration von (1) aus$t=0$Zu$t=x$gibt $$\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1}= \sum_{k=0}^n {n \choose k}\frac{x^{k+1}}{k+1}. \tag{2}$$ Lassen$t=1/x$in (1), dann $$x^{-n} (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{-k}. \tag{3}$$ Multiplizieren von (2) und (3) und Sammeln der Terme von$x^1$, wir bekommen $$\frac{1}{n+1} [(1+x)^{2n+1}-(1+x)^n]= x^n\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+1} x^1+\ldots +\ldots$$ $$\implies S_n=\sum_{k=0}^n \frac{{n \choose k}^2}{k+1}=[x^{n+1}] \left(\frac{ (1+x)^{2n+1}-(1+x)^n}{n+1}\right)= \frac{{2n+1 \choose n+1}}{n+1}.$$