Berechnen Sie ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Question

Berechnen Sie ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Infinitesimalrechnung
Summe
Mathematik
Folgen-und-Serien
Binomialkoeffizienten

Cauchy_boi

Ich bin nicht gut mit Summieren und seinen verschiedenen Techniken, also lasst es mir gut gehen. Wenn mich jemand in die richtige Richtung weisen kann, wäre ich sehr dankbar.

Dies ist die Summe im Anzeigemodus:

\sum_{ich = 0}^{\infty} ich (\binom{ich + 10}{ich}) \frac{1}{2^{ich}}

$\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i}\frac{1}{2^i}$

Durch die Verwendung der Symmetrieregel für Binomialkoeffizienten komme ich auf Folgendes:

\frac{1}{10!} \sum_{ich = 0}^{\infty} \frac{ich}{2^{ich}} \prod_{k = 1}^{10} (k + ich)

$\frac{1}{10!}\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{2^i}\prod_{k=1}^{10}(k+i)$ was nicht zu helfen scheint. Ich habe versucht, etwas anderes am Binomial zu bearbeiten, um i loszuwerden, und ich habe:

11 \sum_{ich = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{ich}} (\binom{ich + 10}{ich - 1})

$11\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^i}\binom{i+10}{i-1}$ aber schon wieder stecke ich fest.
Ich habe das Gefühl, ich muss die Summe irgendwie vereinfachen und dann die rekursive Methode verwenden?

Antworten (2)

Berechnen Sie ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Henno Brandsma · Answer 1

Hinweis : Eine bekannte Reihe (siehe zB hier ) ist:

\frac{1}{(1 - X)^{11}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{10 + k}{k}) X^{k}

$\frac{1}{(1-x)^{11}} = \sum_{k=0}^\infty \binom{10+k}{k}x^k$

Seine Ableitung liegt nahe an dem, was Sie wollen:

\frac{D}{D X} \frac{1}{(1 - X)^{11}} = \sum_{k = 1}^{\infty} k (\binom{10 + k}{k}) X^{k - 1}

$\frac{d}{dx} \frac{1}{(1-x)^{11}} = \sum_{k=1}^\infty k\binom{10+k}{k}x^{k-1}$ Am Ende bewerten bei

x = \frac{1}{2}

$x=\frac12$ Natürlich.

Danke für den Hinweis, ich glaube nicht, dass ich jemals den verallgemeinerten Satz verwendet habe, also habe ich es jetzt gelernt.

Benutzer · Answer 2

Hinweis:

Das können Sie sich merken

\sum_{ich \geq 0} ich (\binom{10 + ich}{ich}) X^{ich} = X \frac{D}{D X} \sum_{ich \geq 0} (\binom{10 + ich}{ich}) X^{ich},

$\sum_{i\ge0}i\binom{10+i}i x^i= x\frac{d}{dx}\sum_{i\ge0}\binom{10+i}i x^i,$ Reduzieren des Problems auf bekannte Serien.

$= X \frac{D}{D X} \sum_{ich \geq 0} (\binom{- 11}{ich}) (- X)^{ich} = X \frac{D}{D X} \frac{1}{(1 - X)^{11}} = {\frac{11 X}{(1 - X)^{12}} |}_{X = \frac{1}{2}} = 22528.$ $=x\frac{d}{dx}\sum_{i\ge0}\binom{-11}i (-x)^i=x\frac{d}{dx}\frac1{(1-x)^{11}}=\left.\frac{11x}{(1-x)^{12}}\right|_{x=\frac12}=22528.$

Berechnen Sie ∑∞i=0i(i+10i)(12)i∑i=0∞i(i+10i)(12)i\sum_{i=0}^\infty i\binom{i+10}{i }(\frac{1}{2})^i

Cauchy_boi

Antworten (2)

Henno Brandsma

Cauchy_boi

Benutzer

Zur verallgemeinerten Leibniz-Regel

Auswertung von ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} für p∈[0,1]p∈[0,1]p \in [0,1]

Berechnen Sie die geschlossene Form der folgenden Reihe

Eine Binomialsumme: ∑nk=0(nk)2k+1∑k=0n(nk)2k+1\sum_{k=0}^{n} \frac{{n \choose k}^2}{k+ 1}

Zahlensummenproblem.

∑nk=0(−1)kk(nk)∑k=0n(−1)kk(nk)\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k}{n \ wählen Sie k}, wenn nnn eine positive ganze Zahl ist

Werte eine Summe mit Binomialkoeffizienten aus: ∑nk=0(−1)kk(nk)2∑k=0n(−1)kk(nk)2\sum_{k=0}^{n} (-1)^kk \binom{n}{k}^2

Alternierend verschobene zentrale Binomialsumme mit Cauchy-Gewichten

Bewerte limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\rechts)

Eine interessante Binomialsumme