Bewerte limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\rechts)

Question

Bewerte limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\rechts)

Grenzen
Infinitesimalrechnung
Summe
Integration
Mathematik
Folgen-und-Serien

Rohan Shinde

Auswerten
$lim_{N \to \infty} (\sum_{R = 0}^{N} \frac{2^{R}}{5^{2^{R}} + 1})$ $\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\right)$

Ich habe versucht, ein unendliches GP innerhalb der Summierung zu erstellen, einige algebraische Manipulationen wie das Hinzufügen der ersten und letzten Terme der Summierung, um irgendwelche Reihen zu finden, die daraus hervorgehen, und habe auch versucht, sie in der Exponentialform zu schreiben, wie $5^{2^r}=e^{2^r\ln 5}$ und versuchte auch, ein Potenzreihen-Ding zu machen. Ich habe auch versucht, eine Methode zu finden, die Integrale und Riemann-Summen verwendet, aber es ist mir nicht gelungen.

Alle mögliche Hinweise würden sehr geschätzt.

Davidlowryduda

Warum denkst du, dass diese Serie eine nette Bewertung haben sollte? Eine äußerst genaue Bewertung ergibt sich bereits aus den ersten paar Termen, da diese Reihe sehr, sehr schnell konvergiert.

Pierpaolo Vivo

Euler-Maclaurin könnte der Weg sein

Rohan Shinde

@PierpaoloVivo Ich verstehe nicht, wie diese Frage damit zusammenhängt

Felix Marin

Numerisch "scheint es zu gehen".

\frac{1}{4}

$\displaystyle\color{red}{1 \over 4}$ .

Rohan Shinde

@FelixMarin Ja, ich habe davon von Wolfy erfahren, aber ich möchte einen algebraischen Hinweis oder eine Art Methode, um es mit den richtigen Mitteln von Hand zu tun

Rohan Shinde

@Felix Marin Ich möchte eine Methode, die mit geeigneten Methoden von Hand durchgeführt werden kann

Felix Marin

Ich weiß, dass. Eine „numerische Prüfung“ ist jedoch immer sinnvoll. Vor allem, wenn das Problem nicht trivial ist.

Rohan Shinde

@FelixMarin Hast du übrigens eine Idee, wie man diese Frage beantwortet? Jetzt habe ich fast 3 Stunden für diese Frage ohne Erfolg versucht

Antworten (2)

Bewerte limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\rechts)

Warum denkst du, dass diese Serie eine nette Bewertung haben sollte? Eine äußerst genaue Bewertung ergibt sich bereits aus den ersten paar Termen, da diese Reihe sehr, sehr schnell konvergiert.
@PierpaoloVivo Ich verstehe nicht, wie diese Frage damit zusammenhängt
Numerisch "scheint es zu gehen". $\displaystyle\color{red}{1 \over 4}$ .
@FelixMarin Ja, ich habe davon von Wolfy erfahren, aber ich möchte einen algebraischen Hinweis oder eine Art Methode, um es mit den richtigen Mitteln von Hand zu tun
@Felix Marin Ich möchte eine Methode, die mit geeigneten Methoden von Hand durchgeführt werden kann
Ich weiß, dass. Eine „numerische Prüfung“ ist jedoch immer sinnvoll. Vor allem, wenn das Problem nicht trivial ist.
@FelixMarin Hast du übrigens eine Idee, wie man diese Frage beantwortet? Jetzt habe ich fast 3 Stunden für diese Frage ohne Erfolg versucht

Rohan Shinde · Answer 1

lim_{N \to \infty} (\sum_{R = 0}^{N} \frac{2^{R}}{5^{2^{R}} + 1})

$\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\right)$

= lim_{N \to \infty} \sum_{R = 0}^{N} (\frac{2^{R}}{5^{2^{R}} + 1} \cdot \frac{5^{2^{R}} - 1}{5^{2^{R}} - 1})

$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n\left( \frac {2^r}{5^{2^r}+1}\cdot \frac {5^{2^r}-1}{5^{2^r}-1}\right)$

= lim_{N \to \infty} \sum_{R = 0}^{N} (\frac{2^{R} ((5^{2^{R}} + 1) - 2)}{5^{2^{R + 1}} - 1})

$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n \left(\frac {2^r((5^{2^r}+1)-2)}{5^{2^{r+1}}-1}\right)$

= lim_{N \to \infty} \sum_{R = 0}^{N} (\frac{2^{R}}{5^{2^{R}} - 1} - \frac{2^{R + 1}}{5^{2^{R + 1}} - 1})

$=\lim_{n\to \infty} \sum_{r=0}^n \left( \frac {2^r}{5^{2^r}-1} -\frac {2^{r+1}}{5^{2^{r+1}}-1}\right)$

= \frac{1}{5 - 1} = \frac{1}{4}

$=\frac {1}{5-1}=\frac 14$

Hinweis: Tatsächlich kann mit dieser Methode bewiesen werden, dass dies für jede natürliche Zahl gilt $a$ (außer natürlich $a=1$ )

lim_{N \to \infty} (\sum_{R = 0}^{N} \frac{2^{R}}{A^{2^{R}} + 1}) = \frac{1}{A - 1}

$\lim_{n\to \infty} \left(\sum_{r=0}^n \frac {2^r}{a^{2^r}+1}\right) =\frac {1}{a-1}$

Paramanand Singh · Answer 2

Der Schlüssel ist, das zu verstehen, wenn $|x|<1$ Dann

(1 + X) (1 + X^{2}) (1 + X^{4}) \dots (1 + X^{2^{N}}) \dots = \frac{1}{1 - X}

$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^n})\dots=\frac{1}{1-x}$ Jetzt nehmen wir Protokolle und differenzieren es, was wir bekommen

\sum_{N = 0}^{\infty} \frac{2^{N} X^{2^{N} - 1}}{1 + X^{2^{N}}} = \frac{1}{1 - X}

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^nx^{2^n-1}}{1+x^{2^n}}=\frac{1}{1-x}$ Putten

x = 1 / t, | t | > 1

$x=1/t,|t|>1$ wir bekommen

\sum_{N = 0}^{\infty} \frac{2^{N}}{1 + T^{2^{N}}} = \frac{1}{T - 1}

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{1+t^{2^n}}=\frac{1}{t-1}$ Putten

t = 5

$t=5$ wir erhalten die gewünschte Grenze in Frage.

Bewerte limn→∞(∑nr=02r52r+1)limn→∞(∑r=0n2r52r+1)\lim_{n\to \infty} \left( \sum_{r=0}^n \frac {2^r {5^{2^r}+1}\rechts)

Rohan Shinde

Davidlowryduda

Pierpaolo Vivo

Rohan Shinde

Felix Marin

Rohan Shinde

Rohan Shinde

Felix Marin

Rohan Shinde

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Rohan Shinde

Felix Marin

Rohan Shinde

xpaul

Kirk Fuchs

Rohan Shinde

Rohan Shinde

Paramanand Singh

Zeigen Sie, dass die Folge nach unten beschränkt ist durch 2–√2{\sqrt 2}

Beweisen Sie, dass eine konvergente Folge entweder ein Minimum, ein Maximum oder beides hat.

Konvergenz einer bestimmten unendlichen Reihe

Wenn lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 im Grenzverhältnistest, folgt daraus, dass die Reihe divergiert?

Grenzwert von an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}

Test auf Konvergenz/Divergenz von ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sin\left(\frac{n}{\pi}\right)

Grenzwert der Folge, Squeeze-Theorem?

Warum ist die Ungleichung ∑∞n=11n2≤1+∫∞11x2∑n=1∞1n2≤1+∫1∞1x2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} wahr?

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Ein ϵϵ\epsilon Beweis

Ich suche die Folge {nn+1sinnπ2}{nn+1sin⁡nπ2}\Big\{ \frac{n}{n+1}\sin{\frac{n\pi}{2}} \Big\ } konvergiert oder divergiert.