Wie unterscheidet man zwischen Lichtbogenlänge und Lichtbogenlängenparametrierung?

Lassen$\alpha\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$sei eine stückweise glatte Kurve,$\alpha(t)=(x(t),y(t))$.

Die Bogenlänge einer stückweise glatten, parametrisierten Kurve ist$s(t)=\int_{t_0}^{t}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$für$t_0$Und$t$im selben differenzierbaren Stück,$t_0$Ihr "Ausgangspunkt". So$s$ist eine Funktion aus dem "parametrisierten Raum",$I$, sagen wir, zum "Bogenlängenraum"$J$, sagen. So$s\colon I\to J$. Nehme das weiter an$s$ist auf diesem Stück invertierbar ($s$typisch ist, weil man das normalerweise annimmt$x'$Und$y'$sind niemals gleichzeitig Null und daher das$s(t)$ist eine streng steigende Funktion). Um die Notation zu missbrauchen, definieren wir eine Funktion$t\colon J\to I$was einfach ist$t=s^{-1}$, die Umkehrung von$s$. Dann$\alpha$kann durch Bogenlänge parametrisiert werden , indem dies beachtet wird$t\in I$kann als Funktion von geschrieben werden$s\in J$als$t(s)$. Daher wird die Notation weiter missbraucht,$\alpha(t)=(\alpha\circ t)(s)$, welches ist$\alpha$parametrisiert durch Bogenlänge.

Wenn Sie die Bogenlänge so messen, wie Sie es getan haben, treffen Sie zwei Annahmen. (1) Von dem Sie ausgehen$(1,0)$und (2) dass, ausgehend von$(1,0)$, die Bogenlänge zum Punkt$(\cos(3\pi/4),\sin(3\pi/4))=(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$Ist$\pi-3\pi/4=\pi/4$was geometrisch keinen Sinn macht, da man erst vorbei muss$(0,-1)$um diesen Punkt zu erreichen und dabei im Bereich von zu bleiben$\alpha(\varphi):=C(\varphi)$. Ich bin mir nicht sicher, wie Sie darauf gekommen sind? Messen von$0$Zu$-|\varphi|$misst die Bogenlänge von$\alpha([-|\varphi|,0])$.