Warum ist die Bogenlänge unabhängig von der Parametrisierung? [Duplikat]

Vorausgesetzt$A = [c,d]$Und$B=[e,f]$, gibt es eine Änderung des Parameterdiffeomorphismus$h : [c,d] \to [e,f]$so dass$x_1(t)=x_2(h(t))$Und$y_2(t)=y_2(h(t))$,$t \in [c,d]$. Vermietung$s = h(t) \in [e,f]$wir bekommen

$$\begin{align*} \int_{s=e}^{s=f} \sqrt{(dx_2/ds)^2 + (dy_2/ds)^2} \, ds &= \int_{t=c}^{t=d} \sqrt{\left(\frac{dx_1/dt}{h'(t)}\right)^2 + \left(\frac{dy_1/dt}{h'(t)}\right)^2} \, h'(t) \, dt \\ &= \int_{t=c}^{t=d} \sqrt{(dx_1/dt)^2 + (dy_1/dt)^2} \, dt \end{align*}$$

Lassen$\phi = (x_1, y_1)$,$\psi = (x_2, y_2)$. Beachten Sie die Definition der Oberflächenintegralansprüche, dass

$$\int_{C}1\,dS := \int_{A}\sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))}\,dt$$ unabhängig von der Parametrierung wohldefiniert ist$(A, \phi)$. Das heißt, es behauptet das $$\int_{A}\sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))}\,dt = \int_{B}\sqrt{\det(D\psi(s)^TD\psi(s))}\,ds.$$ Satz$F = \psi^{-1} \circ \phi \colon A \to B$. Beachten Sie, dass$F$ist ein Diffeomorphismus. Durch die Änderung der Variablenformel zur Integrationssubstitution$s = F(t)$, wir haben $$\begin{align} \int_{B}\sqrt{\det(D\psi(s)^TD\psi(s))}\,ds = \int_{A}\sqrt{\det(D\psi(F(t))^TD\psi(F(t)))}|\det(DF(t))|\,dt. \end{align}$$ Wir haben$\phi(t) = \psi(F(t))$, So$D\phi(t) = D\psi(F(t))DF(t)$. Daher $$\begin{align} \sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))} &= \sqrt{\det(DF(t)^TD\psi(F(t))^TD\psi(F(t))DF(t))} \\ &= \sqrt{\det(D\psi(F(t))^TD\psi(F(t)))}|\det(DF(t))|. \end{align}$$ Daher$\int_{A}\sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))}\,dt = \int_{B}\sqrt{\det(D\psi(s)^TD\psi(s))}\,ds$, also ist das Flächenintegral wohldefiniert, unabhängig von der Parametrisierung. Der obige Beweis funktioniert für Oberflächen beliebiger Dimension und mit kleinen Modifikationen für Integrale jeder Funktion$f \colon C \to \mathbb{R}$, nicht nur$f = 1$. Technisch die Sätze$A$Und$B$sollte aber offen sein.