Warum haben bogenlängenparametrisierte Kurven einen Einheits-Tangentenvektor?

Ja, vorausgesetzt, Ihre Kurve hat an allen Punkten einen Tangentenvektor ungleich Null .

Angenommen, Ihre Kurve ist$\alpha: [a, b] \to \Bbb R^2$. Für$t \in [a, b]$, definieren

$$q(t) = \int_a^t \| a'(s) \| ds.$$ Sie können sehen, dass $q(t)$steht für "wie lange ist $\alpha$aus $a$bis zu $t$".

Was kannst du zur Funktion sagen$q$?

1. $q(a) = 0$.

2. $q'(t) = \| \alpha'(t) \| > 0$für jeden$t \in (a, b)$, nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung.

Definieren$L = q(b)$die Länge der gesamten Kurve sein.

Jetzt:$q: [a, b] \to [0, L]$ist eine zunehmende stetige Funktion auf ihre Kodomäne; daher hat es eine Umkehrfunktion$u: [0, L] \to [a, b]$. Wir sind vielleicht nicht in der Lage, die Umkehrung einfach aufzuschreiben, aber sie ist da. Und die Ableitung von$u$an einem Punkt ist (nach dem Umkehrfunktionssatz) gegeben durch:

$$u'(t) = \frac{1}{q'(q^{-1}(t))} = \frac{1}{q'(u(t))} = \frac{1}{\|a'(u(t))\|}.$$

Behalte diesen Gedanken.

Nun lass

$$\beta: [0, L] \to \Bbb R^2 : t \mapsto \alpha(u(t)).$$ Deutlich $\beta$durchläuft den gleichen Weg wie $\alpha$. Aber was ist $\beta'(t)$? Es ist nach der Kettenregel $$\begin{align} \beta'(t) &= \alpha'(u(t)) \cdot u'(t)\\ &= \alpha'(u(t)) \cdot \frac{1}{\| \alpha'(u(t))\|}, \end{align}$$ was ein Einheitsvektor ist. QED.

wir können den Positionsvektor zerlegen$\vec{r}(s)$, parametrisiert nach Bogenlänge (s) in seine Komponenten in kartesischen Koordinaten:

$\vec{r}(s) = x(s)\hat{\text{i}} + y(s)\hat{\text{j}} + z(s)\hat{\text{k}}$

differenziere nun beide Seiten nach der Bogenlänge s.

$\frac{d\vec{r}(s)}{ds} = \frac{dx(s)}{ds}\hat{\text{i}} + \frac{dy(s)}{ds}\hat{\text{j}} + \frac{dz(s)}{ds}\hat{\text{k}}$

Finden Sie jetzt die Größe:

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = \bigg(\frac{dx(s)}{ds}\bigg)^2 + \bigg(\frac{dy(s)}{ds}\bigg)^2 + \bigg(\frac{dz(s)}{ds}\bigg)^2$

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = \frac{1}{ds^2}\bigg[dx^2 + dy^2 + dz^2\bigg]$

Da s die Bogenlänge ist, können wir die Formel für das Bogenlängendifferential in die Gleichung ($ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$), daher:

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = \frac{1}{dx^2 + dy^2 + dz^2}\bigg[dx^2 + dy^2 + dz^2\bigg]$

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = 1$

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix} = 1$

wir schließen daraus, dass wenn die Funktion mit der Bogenlänge der Kurve parametrisiert wird, die Ableitung ein Einheitsvektor ist. Außerdem sind alle Ableitungen Tangentenvektoren, daher ist es ein Einheits-Tangentenvektor.

Hinweis: Wenn$r:[a,b]\longrightarrow\Bbb R^n$Und

$$s(t) = \int_a^t\|r'\|$$ Dann $r\circ s^{-1}$wird durch Bogenlänge parametrisiert. Wenden Sie nun die Kettenregel an.