Faserbündel mit Kategoriemorphismen als Fasern

Lassen Sie mich zunächst sagen, dass es etwas seltsam ist, mit dem Gesamtraum eines trivialen Bündels zu beginnen$E = M \times F$, was impliziert, dass alle Fasern gleich zahlreich sind, und schreiben Sie dann „Aufgrund der Inhomogenität der Fasern (dh der Kardinalität und der Struktur der Menge$Σ_x$und daher sind Morphismen zwischen dieser Menge nicht unabhängig von$x∈M$) [...]", was darauf hindeutet, dass die Fasern nicht unbedingt gleich zahlreich sind.

In Anbetracht der Allgemeinheit Ihrer Frage können wir nicht nachahmen, was beispielsweise in der Riemannschen Geometrie getan wird, um einen Krümmungstensor zu definieren, da ein solcher Tensor auch auf Vektoren wirken würde, die die Faser berühren (deren Bedeutung ist in unserem Kontext unklar). Wir können jedoch ungefähre Vorstellungen erhalten.

Gegeben sei eine geordnete endliche Menge$\{x_1, \dots, x_n \} \subset M$, was wir einen diskreten Pfad nennen könnten$\gamma$In$M$, können wir einen Morphismus definieren$\Lambda(\gamma) : F_{x_1} \to F_{x_n}$als zusammengesetzter Morphismus$\Lambda(x_{n-1}, x_n) \circ \dots \circ \Lambda(x_1, x_2)$. Wir könnten anrufen$\Lambda(\gamma)$der parallele Transport entlang des (diskreten) Weges$\gamma$. Wenn$\gamma$ist eine Schleife, also wenn$x = x_1 = x_n$, Dann$\Lambda(\gamma) : F_x \to F_x$ist die Holonomie herum$\gamma$.

In guten Situationen einen stückweise glatten Weg gegeben$\Gamma : [0,1] \to M$beitreten$x$Zu$y$, können wir vielleicht definieren$\Lambda(\Gamma)$indem man sich den parallelen Transport von immer feineren diskreten Partitionen ansieht$\Gamma$, was am Ende unabhängig vom Partitionierungsprozess ist. Natürlich, ein gewisser Begriff der Konvergenz in$\mathrm{Mor}(F_x, F_y)$sollte es hier geben. Wenn$\Gamma$ist eine Schleife, das ist, wenn$x=y$,$\Lambda(\Gamma)$ist die Holonomie herum$\Gamma$.

Im Zusammenhang mit der Differentialgeometrie wissen wir (zum Beispiel durch das Ambrose-Singer-Theorem ), dass die Krümmung bei$x \in M$bezieht sich auf die Holonomie um unendlich kleine Schleifen basierend auf$x$. Vielleicht möchten wir diese Idee nachahmen. Genauer gesagt, wenn$\{ \Gamma_n : I \to M \}_{n \in \mathbb{N}}$ist eine Folge von Schleifen basierend auf$x$konvergiert zur konstanten Schleife$c_x : I \to \{x \}$, dann erwarten wir zu haben$\lim_{n \to \infty} \Lambda(\Gamma_n) = \Lambda(c_x) = Id$, was nichts über die Krümmung aussagt. Die Krümmung ist also eher ein Maß dafür, wie die Folge ist$\{ \Lambda(\Gamma_n)\}_{n \in \mathbb{N}}$Ansätze$Id$. In der Differentialgeometrie geschieht dies durch Differentialbildung (da dort$\mathrm{Mor}(F_x, F_x) = \mathrm{Diff}(F_x)$ist eine glatte Mannigfaltigkeit), aber wie wir bereits erwähnt haben, existiert in unserem Kontext ein solcher Begriff des Differentials möglicherweise nicht.

Beachten Sie, dass Holonomie eine globale Version von Krümmung ist; Da wir in der Differentialgeometrie wissen, wie man integriert, stellen wir Holonomien wieder her, indem wir die Krümmungs-2-Form um Schleifen integrieren. In einem allgemeineren Kontext könnte es jedoch natürlicher sein, nur die Holonomien zu betrachten, ohne zu versuchen, eine infinitesimale Vorstellung von Holonomie zu haben.