Hinweis: Meine Frage ist nicht "If ein Diffeomorphismus ist, dann ist das Differential ein Isomorphismus?"
Mein Buch ist From Calculus to Cohomology von Ib Madsen und Jørgen Tornehave. Ich habe nicht viel von den Definitionen oder Theoremen in dem Buch studiert, wenn sie bereits in An Introduction to Manifolds von Loring W. Tu gefunden wurden. Ich gehe meistens davon aus, dass sie gleich sind, bis es Beweise für das Gegenteil gibt.
In Kapitel 11 definieren Madsen und Tornehave „lokalen Index“, was für mich wie eine andere Art aussieht, um das Vorzeichen der Determinante der Jacobi-Matrix zu sagen, die das Differential darstellt (siehe Tu Proposition 8.11; Tu Abschnitt 23.3 ; Madsen und Tornehave Lemma 10.1 ; Madsen und Tornehave Lemma 10.3 ; Wikipedia Grad einer kontinuierlichen Abbildung , insbesondere dieser ).
Nun zu einem regulären Punkt für einen regulären Wert das ist im Bild von (Für einen regulären Wert das ist nicht im Bild von , ich bin mir sicher, dass es nette leere Argumente gibt, die ich überspringen werde), heißt es, dass der lokale Index definiert ist als Wenn behält die Orientierung und ansonsten.
Ich war überrascht , Orientierungserhaltung als Adjektiv für einen Isomorphismus von Vektorräumen zu sehen, weil ich daran gewöhnt bin, Orientierungserhaltung als Adjektiv für Diffeomorphismen von Mannigfaltigkeiten zu sehen. Jedoch, (Vektorraum isomorph), also denke ich, dass Tangentialräume von Mannigfaltigkeiten auch Mannigfaltigkeiten sind, vorausgesetzt, das Bild einer orientierten Mannigfaltigkeit unter einem Vektorraum-Isomorphismus ist auch eine orientierte Mannigfaltigkeit oder so etwas.
ich denke, dass , oder in Tus Notation ist ein Diffeomorphismus der Tangentialräume als Mannigfaltigkeiten, weil:
ist entweder per Definition von surjektiv ein regelmäßiger Punkt ist (Tu Definition 8.22 ) oder durch und Definition von Sein regelmäßiger Wert von das ist im Bild von (Madsen und Tornehave Kapitel 11 ).
ist ein Homomorphismus von Tangentialräumen (fast unmittelbar aus der Definition, aber das folgt sowieso aus Tu- Übung 8.3 ).
ist dadurch injektiv, wegen (1), (2) und dass die Dimensionen von Und sind endlich und gleich.
ist genau dann ein lokaler Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten , das (doppelte) Differential ist ein Isomorphismus von (doppelten) Tangentialräumen, nach dem Umkehrfunktionssatz für Mannigfaltigkeiten (insbesondere nach Tu- Bemerkung 8.12 , die eine "koordinatenfreie Beschreibung" für Tu- Umkehrfunktionssatz für Mannigfaltigkeiten gibt (Tu-Satz 6.26) )
ist ein Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten genau dann, wenn ist ein bijektiver lokaler Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten (bei jedem ) dadurch .
ist ein Isomorphismus von Tangentialräumen nach (1), (2) und (3).
Jeden ist identisch mit selbst, durch Tu Problem 8.2 (auch gefunden in dieser Frage und dieser Frage ), wegen (2).
Jeden ist wegen (6) und (7) ein Isomorphismus von Tangentialräumen.
ist ein lokaler Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten (bei jedem ) durch (4) und (8).
ist ein Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten nach (1), (3), (5) und (9).
Die Antwort auf Ihre Frage lautet ja, aber zumindest nach den meisten Behandlungen, die ich kenne, müssen Sie die Antwort nicht wirklich kennen, um die Definition des lokalen Index zu verstehen. Dies liegt daran, dass sich die Autoren wahrscheinlich eher auf das Konzept der "orientierungsbewahrenden" Isomorphismen orientierter Vektorräume aus der Algebra beziehen als auf das "orientierungsbewahrende" Konzept für Diffeomorphismen von Mannigfaltigkeiten aus der Geometrie. Die letztere Definition beinhaltet Glätte, während die erstere Definition dies nicht tut. Wie sich herausstellt ist als Vektorraum-Isomorphismus orientierungserhaltend genau dann, wenn ist als Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten orientierungserhaltend, aber Sie brauchen eine Interpretation, wie ein Vektorraum zu einer Mannigfaltigkeit wird.
Um Ihr Argument zu präzisieren, müssen Sie sich als Erstes fragen, wie Sie denken möchten (Und ) als Mannigfaltigkeit? Das heißt, was ist die Topologie und die glatte Struktur auf ? Ohne diese Frage zu beantworten, kann man das nicht wirklich bestreiten ist ein Homöomorphismus/Diffeomorphismus. Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, die Sinn machen:
Um Ihrer Interpretation einen Sinn zu geben, beachten Sie als Nächstes, dass es nicht ausreicht, etwas zu geben die Struktur einer Mannigfaltigkeit. Sie müssen sich auch daran orientieren. Wie Sie das tun, hängt von Ihrer Definition von Orientierung ab (da es viele äquivalente Definitionen gibt). Wenn eine Orientierung durch die Abgabe eines Orientierungsatlasses definiert wird, ist es am einfachsten, mit der ersten obigen Interpretation zu arbeiten. Wenn ist ein orientiertes Diagramm herum mit , definieren eine orientierte glatte Struktur an durch Deklaration des Differentials um ein orientiertes Diagramm zu sein (wo Sie identifizieren mit in gewohnter Weise). Wenn Ihre Definition von Orientierung anders ist, müssen Sie möglicherweise etwas anderes tun.
Wie Sie sehen können, müssen Sie viele Details ausfüllen, um mit Ihrer Interpretation zu arbeiten. Die meisten Bücher, die ich kenne (ich habe weder Tu noch Marsden überprüft), behandeln jedoch auch den Begriff einer Orientierung eines Vektorraums, der ein reiner Begriff der linearen Algebra ist, der nichts mit Problemen der Glätte zu tun hat. Dann definiert man, wann eine Abbildung zwischen orientierten Vektorräumen orientierungserhaltend ist und schließlich zeigt man, dass die Definition der Orientierung auf einer Mannigfaltigkeit liegt induziert eine Orientierung für jeden Tangentialraum (was "weich variiert" in Bezug auf ). Dann bezieht sich die Definition des Index auf den Begriff der Orientierungserhaltung/Umkehr linearer Abbildungen zwischen orientierten Vektorräumen und nicht auf Diffeomorphismen zwischen orientierten Mannigfaltigkeiten. Dies ergibt eine konzeptionell sauberere Behandlung, da es die Frage der Glätte von der Frage der Beibehaltung/Umkehrung der Orientierung trennt.
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