Wie überprüfe ich mit Axiomen, ob eine Menge ein Vektorraum ist?

Question

Wie überprüfe ich mit Axiomen, ob eine Menge ein Vektorraum ist?

Mike

A. Überprüfen Sie das $\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \middle\vert\; x, y \in \Bbb R \right\} = \Bbb R^2$ (mit der üblichen Addition und skalaren Multiplikation) erfüllt alle Teile in der Definition eines Vektorraums.

B. Überprüfen Sie, ob die komplexen Zahlen $\Bbb C = \{ x + iy \mid i^2 = −1 \wedge x, y \in \Bbb R \}$ , erfüllen alle Teile in der Definition eines Vektorraums vorbei $\Bbb C$ . Stellen Sie sicher, dass Sie Ihre Regeln für die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation genau angeben.

C. Was würde passieren, wenn Sie verwendet würden $\Bbb R$ als Basisfeld für Teil B (vergleichen Sie es mit Problem A).

Bitte beachten Sie, dass ich keines der Axiome annehmen kann, ich weiß nicht, wie ich sie angesichts der Kriterien beweisen soll. Eine Richtung / ein paar zu übergehen wäre sehr hilfreich. Zusätzlich zu erklären, warum es funktioniert, wäre von Vorteil. Außerdem kann ich Teil C nicht erklären, selbst wenn ich intuitiv verstehe, dass beide Teile Vektorräume sind.

Yuval Filmus

Sie müssen die Axiome nicht annehmen – Sie müssen sie beweisen ! Beweisen Sie sie einfach einzeln.

Graham Kemp

Das erste , was zu tun ist : Finden Sie heraus, was die Teile der Definition eines Vektorraums sind . Kannst du sie auflisten?

Mike

@GrahamKemp Die Definition eines Vektorraums lautet wie folgt:

Antworten (1)

Wie überprüfe ich mit Axiomen, ob eine Menge ein Vektorraum ist?

Sie müssen die Axiome nicht annehmen – Sie müssen sie beweisen ! Beweisen Sie sie einfach einzeln.
Das erste , was zu tun ist : Finden Sie heraus, was die Teile der Definition eines Vektorraums sind . Kannst du sie auflisten?
@GrahamKemp Die Definition eines Vektorraums lautet wie folgt:

Graham Kemp · Answer 1

Ein Vektorraum ist eine Menge von Einheiten, die unter Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation geschlossen sind $(+, \cdot)$ .

Das erfordert Kommutativität, Assoziativität, Identität und Umkehrung der Vektoraddition und Assoziativität und Identität der Skalarmultiplikation sowie Verteilung von Skalarsummen und von Vektorsummen.

Indem wir die Konvention übernehmen, Vektoren mit Großbuchstaben und Skalare mit Kleinbuchstaben zu bezeichnen, haben wir für alle Vektoren $X,Y,Z$ und Skalare $r,s$ :

\begin{array}{lll} A 1. & Kommutativität der Vektoraddition (+) : & X + Y = Y + X \\ A 2. & Assoziativität der Vektoraddition: & (X + Y) + Z = X + (Y + Z) \\ A 3. & Vektoradditionsidentität (0) : & 0 + X = X + 0 = X \\ A 4. & Existenz einer additiven Inversen für jeden Vektor: & (\forall X) (\exists - X) (X + (- X) = 0) \\ M 5. & Assoziativität der Skalarmultiplikation (\cdot) : & R (S \cdot X) = (R S) \cdot X \\ M 6. & Identität der Skalarmultiplikation (1) : & 1 \cdot X = X \\ D 7. & Distributivität von Skalarsummen: & (R + S) \cdot X = R \cdot X + S \cdot X \\ D 8. & Distributivität von Vektorsummen: & R \cdot (X + Y) = R \cdot X + R \cdot Y \end{array}

$\begin{array}{lll} A1. & \text{Commutativity of vector addition }(+): & X+Y=Y+X \\ A2. & \text{Associativity of vector addition: } & (X+Y)+Z=X+(Y+Z) \\ A3. & \text{Vector addition identity }({\bf 0}): & {\bf 0}+X = X+{\bf 0} = X \\ A4. & \text{Existence of additive inverse for every vector: }&(\forall X)(\exists {-X})( X+(-X)={\bf 0}) \\ M5. & \text{Associativity of scalar multiplication }(\cdot): & r(s\cdot X)=(rs)\cdot X \\ M6. & \text{Scalar multiplication identity }(1): & 1\cdot X=X \\ D7. & \text{Distributivity of scalar sums: } & (r+s)\cdot X=r\cdot X+s\cdot X \\ D8. & \text{Distributivity of vector sums: } & r\cdot(X+Y)=r\cdot X+r\cdot Y \end{array}$

Identifizieren Sie also für jeden Satz die relevanten "Vektoradditions"- und "Skalarmultiplikations"-Operationen und demonstrieren Sie nacheinander, wie jede dieser acht Eigenschaften gilt (oder nicht).

Wie überprüfe ich mit Axiomen, ob eine Menge ein Vektorraum ist?

Mike

Yuval Filmus

Graham Kemp

Mike

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Graham Kemp

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