Eine grundlegende Frage zu linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen

Question

Eine grundlegende Frage zu linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen

Anonym

Betrachten Sie die Menge aller linearen Abbildungen aus $V$ Zu $W$ mit Abmessung $n$ Und $m$ bzw. Dies bildet einen Vektorraum unter der durch Addition und Skalarmultiplikation definierten $(T + S)(v) = T(v) + S(v)$ Und $(\alpha T)(v)=\alpha T(v)$ . Nun heißt es, die Dimension dieses Vektorraums sei $mn$ .

Jetzt für $n=3, m=2$ Ich sehe, dass die folgenden zwei Karten $T_1$ Und $T_2$ die Basisbedingungen erfüllen:

T_{1} (e_{1}) = F_{1}, T_{1} (e_{2}) = F_{1}, T_{1} (e_{3}) = F_{2}

$T_1(e_1) = f_1, T_1(e_2) = f_1, T_1(e_3) = f_2$

T_{2} (e_{1}) = F_{2}, T_{2} (e_{2}) = F_{2}, T_{2} (e_{3}) = F_{1}

$T_2(e_1) = f_2, T_2(e_2) = f_2, T_2(e_3) = f_1$

Um zu zeigen, dass jede lineare Abbildung als lineare Kombination dieser beiden Abbildungen geschrieben werden kann, sei T eine beliebige lineare Abbildung.

Jetzt,

T (e_{1}) = a_{1} F_{1} + a_{2} F_{2} = a_{1} T_{1} (e_{1}) + a_{2} T_{2} (e_{1}) = (a_{1} T_{1}) (e_{1}) + (a_{2} T_{2}) (e_{1}) = (a_{1} T_{1} + a_{2} T_{2}) (e_{1})

$T(e_1)=\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 =\alpha_1 T_1(e_1) + \alpha_2 T_2(e_1) =(\alpha_1 T_1)(e_1) + (\alpha_2 T_2)(e_1) =(\alpha_1 T_1 + \alpha_2 T_2)(e_1)$

Ähnliches gilt für $T(e_2)$ Und $T(e_3)$ Auch.

Und bezüglich der linearen Unabhängigkeit let

(a T_{1} + β T_{2}) (e_{1}) = 0 => a T_{1} (e_{1}) + β T_{2} (e_{1}) = 0 => a F_{1} + β F_{2} = 0 => a = 0 β = 0

$(\alpha T_1 + \beta T_2)(e_1) = 0 => \alpha T_1(e_1) + \beta T_2(e_1) =0 => \alpha f_1 + \beta f_2 =0 => \alpha=0 \beta=0$

Wo $e_i$ s und $f_i$ s sind Basisvektoren von $V$ Und $W$ bzw. Wo gehe ich falsch?

Tobias Kildetoft

Warum sollte das falsch sein?

WeiZhan

Schreiben Sie die lineare Karte in Form einer Matrix und Sie werden herausfinden, wo der Fehler liegt.

Tobias Kildetoft

@WildChan wo ist welcher Fehler? Ich verstehe immer noch nicht, was die Frage hier ist.

Gerry Myerson

@Tobias, die Dimension ist 6, während OP eine Basis mit 2 Elementen findet.

Tobias Kildetoft

@GerryMyerson Ohh. Ich habe nichts gelesen, was darauf hindeutet, dass er glaubt, dass diese eine Grundlage bilden, aber ich sehe, dass das Sinn machen würde. Aber jetzt, wenn ich es noch einmal lese, stelle ich fest, dass es eher Basisbeschränkungen als grundlegende Beschränkungen gibt.

Benutzer21982

Ich denke, die Überprüfung der Basis reicht aus, da es sich um eine lineare Karte handelt. Wo ist mein Fehler?

mdp

@prasenjit Du brauchst

T (e_{i}) = α_{1} T_{1} (e_{i}) + α_{2} T_{2} (e_{i})

$T(e_i)=\alpha_1T_1(e_i)+\alpha_2T_2(e_i)$ für alle

i

$i$ , während in Ihrer Argumentation die

α

$\alpha$ s abhängen

i

$i$ .

Benutzer21982

habe meinen Fehler verstanden

Antworten (1)

Eine grundlegende Frage zu linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen

Schreiben Sie die lineare Karte in Form einer Matrix und Sie werden herausfinden, wo der Fehler liegt.
@WildChan wo ist welcher Fehler? Ich verstehe immer noch nicht, was die Frage hier ist.
@Tobias, die Dimension ist 6, während OP eine Basis mit 2 Elementen findet.
@GerryMyerson Ohh. Ich habe nichts gelesen, was darauf hindeutet, dass er glaubt, dass diese eine Grundlage bilden, aber ich sehe, dass das Sinn machen würde. Aber jetzt, wenn ich es noch einmal lese, stelle ich fest, dass es eher Basisbeschränkungen als grundlegende Beschränkungen gibt.
Ich denke, die Überprüfung der Basis reicht aus, da es sich um eine lineare Karte handelt. Wo ist mein Fehler?
@prasenjit Du brauchst $T(e_i)=\alpha_1T_1(e_i)+\alpha_2T_2(e_i)$ für alle $i$ , während in Ihrer Argumentation die $\alpha$ s abhängen $i$ .

Jonatan Y. · Answer 1

Die Menge, die Sie konstruiert haben, ist linear unabhängig, aber keine Basis dafür $L(V,W)$ . In der Tat, die Zuordnung

T_{2, 1} : {\begin{cases} e_{1} \mapsto 0 \\ e_{2} \mapsto F_{1} \\ e_{3} \mapsto 0 \end{cases}

$T_{2,1}:\begin{cases}e_1\mapsto 0\\e_2\mapsto f_1\\e_3\mapsto 0\end{cases}$ fehlt in ihrer Spannweite.

Was würde eine volle Basis für $L(V,W)$ sein, dann?

Edit: Eine vollständige Grundlage wäre $\{T_{i,j}\mid 1\leq i\leq\dim V, 1\leq j\leq\dim W\}$ Wo $T_{i,j}(e_i)=f_j$ und für alle $m\neq i$ $T_{i,j}(e_m)=0$ .

Eine grundlegende Frage zu linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen

Anonym

Tobias Kildetoft

WeiZhan

Tobias Kildetoft

Gerry Myerson

Tobias Kildetoft

Benutzer21982

mdp

Benutzer21982

Antworten (1)

Jonatan Y.

Was könnte die Definition eines positiv orientierten Diagramms in From Calculus to Cohomology sein?

Wie überprüfe ich mit Axiomen, ob eine Menge ein Vektorraum ist?

Vektorräume und Gruppen

Vektoren in der Physik vs. Vektoren in der abstrakten linearen Algebra

Eindeutiges u∧vu∧vu\wedge v, so dass (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} für alle w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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