Quotientenräume in der linearen Algebra

Im Quotienten alle Elemente von$U$sind null. Im Wesentlichen schauen wir also auf die Dinge außerhalb$U$. Zwei Elemente von$V$sind gleich drin$V/U$wenn sie sich um ein Element in unterscheiden$U$. Wir schauen nicht nur nach außen$U$, aber wenn sie sich durch ein Element von unterscheiden$U$wir betrachten sie als gleich. Also das Hinzufügen von Elementen von$U$ändert nichts. Es ignoriert$U$vollständig, Elemente von$U$Null sind und durch ein Element von addiert werden$U$tut nichts.

Nehmen Sie an, dass alles ein endlichdimensionaler Vektorraum ist. Ihr Vektorunterraum$U$hat eine Grundlage$\{u_1,\ldots,u_n\}$. Sie können dies auf eine Basis von erweitern$V$,$\{u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_{k}\}$. Dann eine Grundlage für$V/U$ist durch die Äquivalenzklassen gegeben$\{[v_1],\ldots,[v_k]\}$. Auf diese Weise können Sie möglicherweise sehen, wie wir "ignorieren"$U$.

Ja, da hast du Recht$V/U$ist eine Menge von Äquivalenzklassen der Form$v+U$. Wenn wir sagen, dass wir ignorieren$U$, was wir meinen ist, dass, wenn zwei Vektoren bis zu einem Element in äquivalent sind$U$, dann sind sie gleich in$V/U$. Also wenn$U$ist alles, was zwei Vektoren unterscheidet, dh$v - w \in U$, dann ignorieren wir das und betrachten sie als gleich.