Vektorräume: Unterschied zwischen Äquivalenzklassen und Quotientenräumen

Ich lese Hersteins Topics in Algebra und Halmos' Finite Dimensional Vector Spaces . Ich glaube, ich verstehe das, wenn v F ist ein Vektorraum vorbei F Und W ein Unterraum von v , Dann

  1. Es gibt eine Äquivalenzrelation für u Und v In v definiert von u ≡ v ( Mod W ) Wenn ( u − v ) ∈ W
  2. die Äquivalenzklassen der Relation entsprechen den Elementen des Quotientenraums v / W .
  3. daher ist ein Quotientenraum immer eine Aufteilung des Raumes in Äquivalenzklassen (der entsprechenden Modulbeziehung).

Ich habe keinen Hinweis auf die Umkehrung gesehen, und dies ist meine Hauptfrage: Hat eine Äquivalenzbeziehung immer eine entsprechende Quotientenraumstruktur? Ich vermute nicht, und ich denke, dass das Folgende ein gültiges Gegenbeispiel ist:

Definiere die Beziehung ↔ zwischen u Und v von u ↔ v Wenn u = λ v für einige Nicht-Null λ ∈ F . Dies scheint eine Äquivalenzrelation zu sein, bei der die 0 Vektor ist in einer eigenen Klasse, und "kolineare" Vektoren sind in entsprechenden Äquivalenzklassen. Ich sehe keine Möglichkeit (das ist natürlich kein Beweis), dies als Modulbeziehung aufzustellen, und schließe daher, dass es nicht durch einen Quotientenraum dargestellt wird. Eine sekundäre Frage ist also: Ist dies eine gültige Äquivalenzrelation und ist sie als Quotientenraum darstellbar - wenn nicht, was ist der Beweis?

(Je nach Feedback habe ich möglicherweise eine weitere verwandte Frage zu Tensorprodukten)

Keine Zeit für eine richtige Antwort, aber Ihre Äquivalenzrelation ist in Ordnung. Der Quotientenraum existiert, aber er ist kein Vektorraum : Es ist stattdessen ein projektiver Raum (plus einem zusätzlichen Punkt, der vom Nullvektor kommt). Kann es in einen Vektorraum umgewandelt werden? Sicher, aber nicht auf eine Weise, die viel Sinn macht.
Sie haben keinen Quotientenraum, weil die Relation u = λ v für einige λ definiert keinen Unterraum. Beachten Sie, dass die Definition Ihrer Beziehung nicht sehr weit von der Definition des zugeordneten projektiven Raums entfernt ist v F .

Antworten (1)

Beachten Sie, dass Sie alle Äquivalenzbeziehungen erhalten, indem Sie sich die Modulo-Teilräume von Gleichheit ansehen v haben die besondere Eigenschaft, dass v ≡ w Und v ' ≡ w ' impliziert v + λ v ' ≡ w + λ w ' für alle λ ∈ F , das heißt, sie sind mit der Vektorraumstruktur kompatibel v . Eine solche Äquivalenzrelation wird manchmal auch als Kongruenzrelation bezeichnet. Aber natürlich stimmen nicht alle Äquivalenzbeziehungen überein v sind Kongruenzbeziehungen und Sie haben bereits ein Beispiel dafür gefunden.

Wenn Sie sich jedoch auf Kongruenzbeziehungen beschränken, erhalten Sie tatsächlich eine Bijektion

{ W | W  ein Unterraum von  v } → { ≡ | ≡  eine Kongruenzbeziehung auf  v }
durch Abbildung eines Unterraums W zur Gleichheit modulo W . Die Inverse ergibt sich aus der Äquivalenzklasse des Nullvektors.

Danke. Stimmt es also, dass eine Äquivalenzrelation auf einem Vektorraum genau dann einem Quotientenraum entspricht, wenn es sich um eine Kongruenzrelation handelt?
Ja, das ist richtig.
Vektorräume: Unterschied zwischen Äquivalenzklassen und Quotientenräumen
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