Bestimmen Sie, ob die gegebene Relation eine Äquivalenzrelation ist

Probleme:

1.) R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}

2.) R = {(x, y) ¦ y - x ist eine ungerade ganze Zahl}

3.) R = {(x, y) ¦ y - x ist ein Vielfaches von 3}

Versuchen:

Definitionsgemäß ist eine Relation äquivalent, wenn sie transitiv, reflexiv und symmetrisch ist. Wenn einer dieser Sätze einen dieser Tests nicht besteht, ist die Beziehung keine Äquivalenzbeziehung.

1.)

Prüfen, ob es reflexiv ist.

(0,0) vorhanden ist

(0,0) vorhanden ist

(0,0) vorhanden ist

(1,1) vorhanden ist

(1,1) vorhanden ist

(2,2) vorhanden ist

Somit ist diese Beziehung reflexiv .

Prüfen, ob symmetrisch.

(0,0) vorhanden ist

(1,0) ist nicht vorhanden

Das ist also nicht symmetrisch und es ist keine Äquivalenzrelation .

2.)

Prüfen, ob reflexartig

Diese Beziehung scheitert an zwei Axiomen:

1. Axiom: Die Addition zweier ungerader Ganzzahlen ergibt eine gerade Ganzzahl.

2. Axiom: Die Addition von zwei geraden ganzen Zahlen ergibt auch eine gerade ganze Zahl.

Ganz zu schweigen davon, dass Sie immer Null erhalten, eine gerade Zahl, wenn Sie jedes Mal dieselben x-Werte subtrahieren.

Die einzige Zeit, in der es jemals ungerade ist, ist, wenn Sie eine ungerade und eine gerade Zahl haben.

Somit besteht diese Relation den reflexiven Test nicht und ist keine Äquivalenzrelation.

3.)

Prüfen, ob reflexiv:

Diese Relation ist wegen dieser Regel reflexiv .

Eine ganze Zahl a ist ein Vielfaches einer ganzen Zahl b bedeutet, dass ab=ganze Zahl. Wenn also 0 durch eine beliebige ganze Zahl (außer Null selbst) geteilt wird, ergibt sich eine ganze Zahl.

Prüfen ob symmetrisch:

Nein, das ist nicht symmetrisch, weil nicht jede Zahl ein Vielfaches von drei ist.

Hier ist ein Fall: 9 - 5 = 4 und 5 - 9 = -4. Keines davon ist ein Vielfaches von 3.

Somit besteht diese Relation den Symmetrietest nicht und ist keine Äquivalenzrelation.

Ist meine Arbeit korrekt?

Für die zweite Relation gibt es einen viel einfacheren Weg, um auf Reflexivität zu prüfen: Sie müssen nur prüfen, ob ( X , X ) ∈ R laut Definition muss dies gleichbedeutend sein mit X − X = 2 k + 1 was natürlich falsch ist, weil...

Antworten (1)

Sie sind bis zur Analyse der letzten Relation in Ordnung.

Erinnere dich daran R ist symmetrisch gdw ( ∀ X , j ) [ ( X , j ) ∈ R ⇒ ( j , X ) ∈ R ] . Nun, nehme an ( X , j ) ∈ R . Dann j − X ist ein Vielfaches von 3 . Was kannst du dazu sagen X − j ?

Bevor ich Ihre Frage beantworte, wollen Sie damit sagen, dass der Test, den ich für Teil 3 durchgeführt habe, 9 – 5 = 4 und 5 – 9 = –4, und daraus schließen, dass er kein Vielfaches von 3 ist, ungültig ist?
In Bezug auf Ihre Frage, wenn yx ein Vielfaches von 3 ist und es dann natürlich umgekehrt ist, wird xy auch ein Vielfaches von 3 sein.
Nun, Sie haben überprüft, ob ( 5 , 9 ) ∈ R , und stellte fest, dass dies nicht der Fall war. Es ist also egal, ob ( 9 , 5 ) ∈ R . Für R symmetrisch zu sein, wenn Sie eine haben ( X , j ) ∈ R , dann müssen Sie auch haben ( j , X ) ∈ R . Ja, X − j wird auch ein Vielfaches von sein 3 .
Oh, ich verstehe. Sie wenden die bedingte Anweisung an. Wobei F impliziert, dass T logisch äquivalent zu wahr ist. Das heißt, jeder Fall ist symmetrisch. Denn wenn 5,9 nicht symmetrisch ist, dann ist es irrelevant, aber wenn xy wahr ist, dann ist es immer wahr.
Ich denke, jetzt muss ich prüfen, ob es transitiv ist.
Ja, in der Tat. :)
Als ich überprüfte, ob es transitiv ist, stellte ich fest, dass es keine Rolle spielt, ob Sie drei ganze Zahlen haben, die ein Vielfaches von drei, zwei oder eins sind. Es wird alles zu T ausgewertet und T impliziert wahr oder F und F impliziert F oder T und F impliziert F. Somit ist es äquivalent. Sind Sie einverstanden?
Ähm, ich bin mir nicht sicher, was Sie sagen, aber bedenken Sie: Angenommen ( X , j ) , ( j , z ) ∈ R . Dann j − X Und z − j sind Vielfache von 3 . Daher ist ihre Summe ein Vielfaches von 3 . Aber ihre Summe ist gleich ( z − j ) + ( j − X ) ....
Nun, während ich mehrere Fälle durchging, bemerkte ich manchmal sehr interessante. Nun, ich bin mir ziemlich sicher, wenn wir drei ganze Zahlen wählen, die Vielfache von drei sind, wird dies immer wahr sein. Aber was wäre, wenn x und y Vielfache von 3 wären, aber z so etwas wie 5 oder 7 wäre (kein Vielfaches von 3). Dann würden Sie so etwas wie T erhalten und F impliziert F, was F impliziert, was F ist, was wahr ist. Etwas ähnlich, wenn Sie ein Vielfaches von 3 und 2 ganze Zahlen wählen, die kein Vielfaches von drei waren. Darauf komme ich hinaus.
Ja, deine Beobachtung ist richtig.
Danke. Es scheint also, dass das letzte Problem eine äquivalente Beziehung ist.
Sie haben Recht; es ist eine Äquivalenzrelation.
Bestimmen Sie, ob die gegebene Relation eine Äquivalenzrelation ist
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v