Ich mache Übungen zu Äquivalenzbeziehungen. Wenn ich das Material durchsehe, das ich in der Hand habe, erhalte ich diese Definition:
Eine Relation R in einer Menge S heißt Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Ich verstehe die Eigenschaften in Zahlen, aber in dem Material werden Wörter angewendet, und ich weiß nicht, ob ich sie gut verstehe. Ich würde Ihre Hilfe schätzen.
Die Beispiele sind:
Geben Sie an, welche der folgenden Beziehungen auf der Menge aller Personen reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind:
a) "ist älter als" - transitiv
Also lass mich sehen, ob ich es bekomme. Nehmen wir an, die Person ist Mary. Es ist also nicht reflexartig, weil Mary nicht älter sein kann als sie selbst. Es ist nicht symmetrisch, weil Mary älter als Will sein kann, Will aber nicht älter als Mary sein kann. Es ist transitiv, weil Mary älter sein kann als Will und Will älter als Peter, und dann ist Mary älter als James.
b) "sitzt in derselben Reihe wie" - reflexiv, symmetrisch, transitiv. Dies ist eine Äquivalenzrelation.
Wie ist reflexiv? Sitzt Mary in derselben Reihe wie sie selbst? Das macht keinen Sinn. Es ist symmetrisch, denn wenn Mary in derselben Reihe wie Will sitzt, dann sitzt Will in derselben Reihe wie Mary. Es ist transitiv, denn wenn Mary in derselben Reihe wie Will sitzt und Will in derselben Reihe wie Peter sitzt, dann sitzt Mary in derselben Reihe wie Peter.
c) "wiegt mehr als" - transitiv
Is think ist aus dem gleichen Grund wie a) transitiv.
Ich muss das auf diese Übungen anwenden:
d) "ist die Schwester / der Bruder von" - Wenn ich denke, dass es so angewendet wird, ist dies nur symmetrisch?
Mary kann nicht die Schwester ihrer selbst sein. Es ist also nicht reflexartig. Wenn Mary die Schwester von Will ist, dann ist Will der Bruder von Mary. Es ist also symmetrisch. Dann glaube ich nicht, dass es transitiv sein könnte, weil Mary die Schwester von Will und Wills Bruder von Peter sein kann, aber Mary möglicherweise keine notwendige Schwester von Peter ist.
e) "ist gleich hoch wie"
reflexiv, symmetrisch und transitiv?
a) "ist älter als" - transitiv
Hier stimmt alles.
b) "sitzt in derselben Reihe wie" - reflexiv, symmetrisch, transitiv. Dies ist eine Äquivalenzrelation.
Ebenfalls. Um eine Frage zu beantworten, sitzt Mary in derselben Reihe wie sie selbst? Natürlich, weil sie nicht gleichzeitig in zwei verschiedenen Reihen sitzen kann.
c) "wiegt mehr als" - transitiv
Bingo.
d) "ist die Schwester / der Bruder von" - Wenn ich denke, dass es so angewendet wird, ist dies nur symmetrisch?
Ja, das ist wegen der inhärenten geschlechtsspezifischen Sprache seltsam. Persönlich würde ich es als "ist das Geschwister von" interpretieren. In diesem Fall würden Sie auch Transitivität erhalten.
e) "ist gleich hoch wie"
reflexiv, symmetrisch und transitiv?
Jawohl. Da du dir unsicher scheinst:
Wenn Sie Höhen quantifizieren würden, wäre dies nicht anders als die Gleichheitsrelation, dh , Und iff , Und Und implizieren . Tatsächlich könnten alle oben genannten Punkte offensichtlicher sein, wenn Sie sich eine bestimmte Größe für Mary vorstellen und der Kette der Implikationen folgen.
Insgesamt würde ich sagen, dass Sie dieses Material anscheinend gut verstehen!