Vereinigung disjunkter Mengen: Äquivalenzrelationen

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich diese Frage beantworten soll. Ich habe es versucht, aber ich bin mir nicht sicher, ob es richtig ist.

Frage : Lass S sei die Vereinigung disjunkter Mengen A 1 , ⋯ , A k . Lassen R sei die aus Paaren bestehende Relation ( X , j ) ∈ S × S so dass X , j gehören zum gleichen Mitglied von { A 1 , ⋯ , A k } . Beweise das R ist eine Äquivalenzrelation auf S .

Die drei Axiome sind: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität,

Ich habe eine kurze Vorstellung davon, wie man die ersten 2 macht, aber für die Transitivität habe ich keine Ideen. Könnte hier bitte jemand weiterhelfen?

Antworten (2)

Transitivität:

Für alle X , j , z ∈ S , vermuten ( X , j ) ∈ R , Und ( j , z ) ∈ R .

Das bedeutet, dass X Und j sind darin enthalten A ich , unter den disjunkten Mengen, und so weiter j , z sind darin enthalten A J , unter den disjunkten Mengen. Da die Mengen disjunkt sind, geht das nicht j kann in mehr als einer der Mengen vorkommen, deren Vereinigung ist S , (d.h. es ist nicht möglich, dass X , j , sind in A ich , während j , z sind beide drin A J , Und ich ≠ J ). Somit, A ich = A J für einige ich .

Das müssen wir schließen X , j , z befinden sich in derselben Menge, also disjunkt von allen anderen Mengen in der Vereinigung S , und so ( X , z ) ∈ R .

Ich schlage vor, Sie posten Ihre Ideen, Wallace, zur Reflexivität. Sie sind viel einfacher. Für alle X ∈ S , wir haben ( X , X ) ∈ R , denn wenn x in einer der disjunkten Mengen ist, ist x mit sich selbst in derselben Menge. Ähnlich mit Symmetrie: wenn ( X , j ) ∈ R , Dann X , j sind beide Elemente in demselben A_i. Also sind y und x beides Elemente in demselben A_i. Symmetrie gilt also.
Ja, ich dachte, das wären die Fälle für Reflexivität und Symmetrie. Ihre Antwort für die Transitivität war hervorragend. Vielen Dank!
Ich helfe gerne, Wallace.

Die disjunkten Mengen A 1 , . . . , A k bilden die Teile einer Partition von S . Also alle Elemente von S gehört zu genau einem Teil.

Lassen [ X ] sei die Menge der Elemente im selben Teil wie X .

[ X ] := { j ∈ S : ∃ A ∈ { A 1 , . . , A k }   ( X ∈ A ∧ j ∈ A ) }

Die Beziehung R ist somit definiert als X R ⁡ j ⟺ X ∈ [ j ] . dh:

X R ⁡ j   ⟺   ∃ A ∈ { A 1 , . . , A k }   ( X ∈ A ∧ j ∈ A )

Dann musst du zeigen Reflexivität:  ∀ X   ( X R ⁡ X ) Symmetrie: ∀ X   ∀ j   ( X R ⁡ j → j R ⁡ X ) Transitivität:  ∀ X   ∀ j   ∀ z   ( ( X R ⁡ j   ∧   j R ⁡ z )   →   X R ⁡ z )

Das ist: ∀ X   ( X ∈ [ X ] ) ∀ X   ∀ j   ( X ∈ [ j ] → j ∈ [ X ] ) ∀ X   ∀ j   ∀ z   ( ( X ∈ [ j ]   ∧   j ∈ [ z ] )   →   X ∈ [ z ] )

Ich habe eine kurze Vorstellung davon, wie man die ersten 2 macht, aber für die Transitivität habe ich keine Ideen. Könnte hier bitte jemand weiterhelfen?

Alle Elemente von S gehört zu genau einem Teil . Also ggf X ist im selben Teil wie jeder j , und das j ist im selben Teil wie jeder z , Dann ...

Vereinigung disjunkter Mengen: Äquivalenzrelationen
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