Wie können Sie ein Vorabbild aus der Umkehrung erhalten, wenn es nicht definiert ist?

Aus den Kursnotizen für diskrete Mathematik zu Umkehrfunktionen

Wenn eine Funktion G : Z → Z viele-zu-eins ist, dann hat es keine Umkehrfunktion. Dies macht die Notation G − 1 ( 3 ) bedeutungslos. Dennoch, G − 1 ( { 3 } ) ist wohldefiniert, weil es das Urbild von {3} bedeutet. Wenn G − 1 ( { 3 } ) = { 1 , 2 , 5 } , wir wissen G ( 1 ) = G ( 2 ) = G ( 5 ) = 3 .

Warum dürfen wir sagen G − 1 ( D ) wobei D eine Menge ist, wenn G − 1 ist nicht definiert? Ist das nur ein Notationstrick, wo G − 1 bezieht sich nicht auf eine Umkehrfunktion, sondern nur auf den Definitionsbereich von G , wenn Sie in einem Satz übergeben? Es erscheint unsinnig, einen Parameter an eine Funktion zu übergeben, die nicht existiert.

Oder ist G − 1 tatsächlich definiert , aber nicht als Funktion, sondern als Relation?

Wie Sie betonen, G − 1 kann entweder Invers oder Urbild bedeuten. Die Umkehrung muss nicht definiert werden, damit das Urbild existiert.
@John: Es würde nicht "Preimage" bedeuten, oder? Es würde bedeuten "Funktion, die eine Menge aufnimmt und das zugehörige Urbild zurückgibt"?
Du überdenkst das. Dieselbe Notation kann eine Umkehrfunktion oder die Definition der Menge bedeuten, die alle Elemente der Domäne enthält, die auf dieselbe Teilmenge der Codomain abgebildet werden.
Wiktionary hat übrigens eine Definition, die mir geholfen hat, die Dinge zu klären. en.wiktionary.org/wiki/preimage#Noun Ich habe eine falsche Dichotomie gezeichnet, weil Sie das "Preimage of" der Teilmenge der Codomain nehmen.

Antworten (1)

Es ist hauptsächlich ein notationaler Taschenspielertrick und eine Frage der Definitionen. Im Wesentlichen, G − 1 leistet hier viel Kleinarbeit.

  • Wenn ein bestimmter Wert gegeben ist und wann G ist invertierbar, G − 1 ( j ) für diesen einzelnen Wert j gibt dir die X so dass G ( X ) = j .

  • Unabhängig von der Invertierbarkeit, wenn wir es mit einer Menge zu tun haben S (sei es ein Singleton oder etwas anderes) definieren wir das Symbol G − 1 ( S ) alle Elemente der Domäne sein, in die gesendet wird S von G , dh

    G − 1 ( S ) = def { X ∈ D Ö M A ich N ( G ) ∣ G ( X ) ∈ S }
    Beachten Sie, dass dies nicht von der Invertierbarkeit abhängt. (Wenn es invertierbar ist, dann S grob gesagt die gleiche Größe wie der Ausgabesatz haben.)

Achten Sie auf einen Unterschied: Der erste nimmt Werte auf und gibt sie aus; der zweite nimmt Sätze auf und gibt sie aus. Auch wenn die Funktion invertierbar ist. Nehmen G ( X ) = X 3 Und G : R → R als Beispiel,

G − 1 ( 8 ) = 2  wohingegen  G − 1 ( { 8 } ) = { 2 }

Ein weiteres bemerkenswertes Beispiel wäre G : R → R mit

G ( X ) = { 1 X = 0 0 X ≠ 0
Diese Funktion ist nicht invertierbar (da beispielsweise G ( 2 ) = G ( 3 ) = 0 ). Daher die Vorstellung von G − 1 ( 0 ) ist undefiniert (als Einzelwert). Allerdings können wir das sehen
G − 1 ( { 0 } ) = R ∖ { 0 } G − 1 ( { 1 } ) = { 0 }
weil jede reelle Zahl außer 0 gesendet wird 0 , Und 0 selbst gesendet wird 1 .

Folglich, ob es für Sie zum Dolmetschen bestimmt ist G − 1 als Menge oder Wert hängt letztlich vom Kontext ab, nämlich:

  • Ist G umkehrbar?
  • Noch wichtiger ist, betrachten Sie einen Satz oder einen einzelnen Wert?

Zugegeben, es ist eine etwas überladene Notation und kann zu Verwirrung führen, aber ich denke, die Interpretation des Set-Case als "Verallgemeinerung" des Value-Case macht diese Idee eindrucksvoller.

+1 Es ist auch erwähnenswert, dass einige Autoren alternative Notationen verwenden , um diese Art von Verwirrung zu vermeiden.
Danke, das stimmt auch gut mit dem überein, was ich gerade auf Wiktionary gelesen habe (siehe oben). Richtig, das zu sagen G − 1 in diesem Fall ist eine Beziehung? Auch.. Ist es fair zu sagen, dass diese Version von G − 1 existiert immer , wenn g existiert? Auch wenn g weder surjektiv noch injektiv ist?
In Bezug auf die erste Frage: Meine Begründung, warum es sich eher um eine Beziehung als um eine Funktion handeln würde, wäre, dass sie mehrere Werte für eine Eingabe ausgibt. Ich denke, das hängt davon ab, ob Sie berücksichtigen (1 Eingabesatz -> 1 eindeutiger Ausgabesatz). eine Funktion sein oder nicht
Ich vermute die "preimage of"-Version von G − 1 ist eine mehrwertige Funktion, die eindeutige Sätze erzeugt en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function
Wie können Sie ein Vorabbild aus der Umkehrung erhalten, wenn es nicht definiert ist?
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