Ist diese Menge abzählbar unendlich? Wenn ja, wie zeige ich eine Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen diesen beiden Sätzen?

Ich soll bestimmen, ob das Set A × Z + Wo A = { 2 , 3 } ist abzählbar unendlich. Wenn ja, sollte ich eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge positiver ganzer Zahlen und der fraglichen Menge aufweisen.

Obwohl ich mir ziemlich sicher bin, dass die Menge abzählbar unendlich ist, habe ich Mühe, eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den positiven ganzen Zahlen und der Menge zu finden, da es mir so vorkommt, als gäbe es doppelt so viele Elemente in der Menge A × Z + als die Menge der positiven ganzen Zahlen, da ihre Kardinalität aufgrund des kartesischen Produkts doppelt ist?

Kennen Sie die Bernstein-Theorie von Cantor Schröder ? Anstatt eine Bijektion zu zeigen, kann man einfach zwei Injektionen zeigen (eine in jede Richtung). Oft ist das viel einfacher.
Bedeutet das also, dass wenn ich 1 -> (2,1), 2 -> (2,2), 3 -> (2,3) abbilde ... und (2,1) und (3,1) ->1, (2,2) und (3,2) ->2, (2,3) und (3,3) ->3.... Es würde genügen zu zeigen, dass es eine Eins zu Eins gibt Korrespondenz zwischen den beiden Sets?
Ich verstehe nicht. Sie haben zwei Sätze, nennen wir sie S 1 , S 2 . Anstatt eine Bijektion zwischen ihnen aufzuweisen, reicht es aus, zwei Injektionen aufzuweisen, eine von S 1 → S 2 und eine von S 2 → S 1 .
@lulu: Basierend darauf, wie das OP schreibt, vermute ich, dass das OP das CSB-Theorem entweder noch nicht behandelt hat oder es nicht verwenden darf. In der Tat zu sagen "... es scheint mir, dass es doppelt so viele Elemente in ... gibt", deutet darauf hin, dass das OP sehr neu ist (vielleicht auf Schulebene, nicht auf Universität), da es zum Beispiel auch zweimal zu geben scheint so viele ganze Zahlen wie gerade ganze Zahlen und doch die Funktion F ( X ) = 2 X kümmert sich trivial darum.

Antworten (1)

Die Bijektion ist ziemlich offensichtlich. ZB für jede positive ganze Zahl N du kannst definieren:

F ( 2 k − 1 ) = ( 2 , k ) Wenn N = 2 k − 1 (n ist ungerade)

F ( 2 k ) = ( 3 , k ) Wenn N = 2 k (n ist gerade)

Beweisen Sie das einfach F ist eine Bijektion (was ganz einfach ist).

Diese Bijektion ist im Grunde eine formale Schreibweise dieser Tabelle:

1 → ( 2 , 1 )
2 → ( 3 , 1 )
3 → ( 2 , 2 )
4 → ( 3 , 2 )
5 → ( 2 , 3 )
6 → ( 3 , 3 )
…

„Mir scheint, dass es doppelt so viele Elemente in der Menge gibt A × Z + als die Menge der positiven ganzen Zahlen, da ihre Kardinalität aufgrund des kartesischen Produkts doppelt ist.

Nun, die gleiche Intuition ist wahrscheinlich für die Mengen positiver ganzer Zahlen und sogar positiver ganzer Zahlen vorhanden . Aber es gibt eine Bijektion zwischen den beiden Mengen, daher sind ihre Kardinalitäten gleich (eine Kardinalität ist nicht "zweimal" die andere Kardinalität).

Wann immer also Ihre Intuition sagt, dass die Anzahl der Elemente einer Menge C ist 2 oder 3 oder 10 oder M mal die Anzahl der Elemente einer anderen Menge B , sollten Sie wissen, dass die beiden Sätze B Und C tatsächlich von gleicher Mächtigkeit sind. Es ist auf den ersten Blick etwas kontraintuitiv, aber so ist es.

Ist diese Menge abzählbar unendlich? Wenn ja, wie zeige ich eine Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen diesen beiden Sätzen?
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