Benötigt eine injektive Funktion jedes Element der Domäne, um auf ein Element der Kodomäne abgebildet zu werden?

$f(x) = x$Wo$f : \Bbb R \to \Bbb Z$ist keine Funktion.

Eine Funktion$f : A \to B$ist eine Menge geordneter Paare$(a,b)$mit$a \in A$Und$b \in B$so dass für jeden$a \in A$es gibt genau einen$b \in B$das passt dazu$a$, das ist$f(a)$besteht und$f(a) = b$. In Set-Builder-Form,

Injektivität erfordert das Umgekehrte, dass jede$b$paart sich nur mit einem$a$.

Nun zu deinem Vorschlag$f$, Sie haben eine Menge$a \in \Bbb R$die nirgendwo abgebildet werden. Wie würde das als geordnetes Paar aussehen?$(a,)$? Das macht keinen Sinn. Jedes Element Ihrer Domain muss irgendwo abgebildet werden, sonst ist es keine Funktion.

Das hat nichts mit Eins-zu-Eins zu tun, sondern ist eher die Definition einer Funktion von einer Domäne zu einer Kodomäne (aber um eine Eins-zu-eins-Funktion zu sein, muss man natürlich zuerst überhaupt eine Funktion sein ). Wenn$f$ist eine Funktion aus$A$Zu$B$, das heißt für jeden$a\in A$,$f(a)$ist definiert und ist ein Element von$B$. So$f(x)=x$ist keine Funktion von$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{Z}$, seit$f(x)\not\in\mathbb{Z}$für einige Werte von$x$. Und$f(x)=1/x$ist keine Funktion von$\mathbb{R}$Zu$\mathbb{R}\setminus\{0\}$, seit$f(0)$ist nicht definiert.

Nein, es ist nicht notwendig, dass jedes Element der Domäne auf ein Element in der Codomain abgebildet wird. Eine Funktion, die nicht alle Elemente ihres Wirkungsbereichs abbildet, wird als partial bezeichnet .

Die Funktion aus Ihrem ersten Beispiel ($f(x)=x, f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$) ist partiell und bijektiv . Es ist partiell, weil es Argumente gibt, für die es undefiniert ist ($f(1.5)$ist nicht definiert). Es ist surjektiv , weil für jedes Element$y$In$\mathbb{Z}$Es gibt mindestens ein Element$x$In$\mathbb{R}$so dass$f(x)=y$als$\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{R}$. Es ist injektiv , weil jedes einzelne Element in$\mathbb{R}$wird einem bestimmten Element in zugeordnet$\mathbb{Z}$. Es ist bijektiv , weil es sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Ebenso die Funktion aus Ihrem zweiten Beispiel ($f(x)=1/x, f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$) ist teilweise ($f(0)$ist undefiniert) und bijektiv .

Außerdem Funktion$f(x)=1/x, f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ist total und bijektiv , während Funktion$f(x)=1/x, f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ist teilweise ($f(0)$ist undefiniert) und nicht-surjektiv (es gibt keine$x$so dass$f(x)=0$).