Begründung dafür, dass g eine Eins-zu-eins-Funktion ist

Wenn F Und F ∘ G Eins-zu-eins-Funktionen sind, ist G auch eine Eins-zu-Eins-Funktion? Rechtfertige deine Antwort.

Ich vermute das G sollte eine Eins-zu-Eins-Funktion sein.

Also eine Funktion F ist injektiv, wenn:

∀ A ∀ B ( F ( A ) = F ( B ) ⇒ A = B )

Also seit F ist injektiv:

∀ A ∀ B ( F ( A ) = F ( B ) ⇒ A = B )

Und F ∘ G ist auch injektiv:

∀ A ∀ B ( F ∘ G ( A ) = F ∘ G ( B ) ⇒ G ( A ) = G ( B ) )

∀ A ∀ B ( G ( A ) = G ( B ) ⇒ A = B )

Zeigt sich das G muss auch injektiv sein?

eins zu eins bedeutet injektiv?
@LuckyS Das ist richtig.
Sie haben die Übersetzung in Symbole von " F ∘ G ist auch injektiv". Die Symbole, die Sie geschrieben haben, sind eine andere Art, " F ist injektiv" gefolgt von " G ist injektiv" (und es ist unklar, welche Begründung Sie für das zweite verwendet haben).

Antworten (2)

Ihr Beweis scheint nicht korrekt zu sein. Egal, nimm A , B so dass G ( A ) = G ( B ) . So F G ( A ) = F G ( B ) . Aber F G ist injektiv, also A = B . Das Injektiv von F scheint als Hypothese nicht wichtig zu sein.

Ich bin verwirrt. Sagt das deine Antwort G ( A ) = G ( B ) impliziert, dass F G ( A ) = F G ( B ) ? Ich dachte, injektive Funktionen wären umgekehrt definiert? ( F G ( A ) = F G ( B ) impliziert, dass G ( A ) = G ( B ) ?
Oh, ich verstehe, ist es von den Regeln der Schlussfolgerung? ((p impliziert q) und q) impliziert p?
@FarmerZee Nein. Es ist einfach direkt: if X = j Dann F ( X ) = F ( j ) , Rechts? Nehmen X = G ( A ) Und j = G ( B ) wir bekommen: wenn G ( A ) = G ( B ) Dann F ( G ( A ) ) = F ( G ( B ) ) .
ALLE Funktionen befriedigen X = j ⟹ F ( X ) = F ( j ) . Das ist die eigentliche Definition einer Funktion: Jeder Eingang hat genau einen Ausgang. Jetzt einstecken X = G ( A ) Und j = G ( B ) . @FarmerZee
@LeeMosher Warum ist die Definition einer injektiven Funktion nur eine "Einweg"-Implikation? Wenn wir es mit der Definition einer Funktion kombinieren, sollte es nicht mit einem Wenn und nur wenn definiert werden?
Bei der Definition einer injektiven Funktion ist diese zunächst schon gegeben F ist Funktion, dh die wird einem gegeben X = j ⟹ F ( X ) = F ( j ) ; Das sagt die Definition einer Funktion. Dann definiert man die zusätzliche Eigenschaft der Injektivität: F ( X ) = F ( j ) ⟹ X = j . Es ist also nicht notwendig, die Definition einer Funktion in die Definition der Injektivität aufzunehmen.
Beim Lesen einer mathematischen Definition ist es oft wichtig, darauf zu achten, was gegeben ist, und dies von dem, was definiert wird, getrennt zu halten. Gut geschriebene mathematische Definitionen sollten diese Unterscheidung klar machen; Bei schlecht geschriebenen müssen Sie möglicherweise zwischen den Zeilen lesen, um diesen Unterschied herauszuarbeiten.

Beweisen wir das Gegenteil ! Wenn G nicht injektiv ist, dann gibt es zwei verschiedene Elemente A Und B im Bereich von G so dass G ( A ) = G ( B ) . Lassen C = G ( A ) . Dann

( F ∘ G ) ( A ) = F ( G ( A ) ) = F ( C ) = F ( G ( B ) ) = ( F ∘ G ) ( B ) ,
und so F ∘ G ist auch nicht injektiv.

Also wenn G ist dann nicht injektiv F ∘ G ist nicht injektiv. Im Gegensatz dazu entspricht dies der Aussage, dass wenn F ∘ G ist dann injektiv G ist auch injektiv, was wir beweisen sollten.

(Beachten Sie, dass wir tatsächlich nicht die Annahme verwenden mussten, dass F ist auch überall injektiv, und tatsächlich gilt das gleiche Ergebnis auch dann, wenn F ist nicht injektiv. Allerdings während F ∘ G injektiv zu sein bedeutet das nicht F injektiv ist, können wir beweisen, dass dies die Einschränkung von impliziert F in den Bereich von G muss injektiv sein.)

Begründung dafür, dass g eine Eins-zu-eins-Funktion ist
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v