Wie überprüft man die universelle Eigenschaft beim Bau der Stone-Čech-Verdichtung?

Wir sehen also$X$als Homöomorph von$e_X[X]$Wo$e_X: X \to C:= [0,1]^{C(X,I)}$(definiert von$\pi_f \circ e_X = f$für alle$f \in C(X,I)$) ist die kanonische Einbettung des Tychonoff-Raums$X$in den Würfel und$\beta X$wird dann als seine Schließung definiert$\overline{e_X[X]}^{(C)}$in diesem Würfel.

Nun, wenn$K$ist jeder kompakte Hausdorff-Raum, den wir auf die gleiche Weise als Unterraum eines Würfels sehen können$C' = [0,1]^{C(K,I)}$über eine eigene Einbettung$e_K$. Gegeben$f: X \to K$wir wollen verlängern$f$Zu$\beta f : \beta X \to K$so dass$\beta f \circ e_X = f$An$X$. Für jede$f' \in C(K,I)$wir haben das$f' \circ f \in C(X,I)$und das also$f' \circ f$ist eine "Koordinate" des Würfels$C$und so können wir eine Karte definieren$F: C \to C'$von$\pi_{f'} \circ F = \pi_{f' \circ f}$und dies ist eindeutig bestimmt und kontinuierlich (durch Standardfakten auf Produktkarten; dies$F$ist das "Produkt", von dem Wikipedia spricht). Es ist dann Standard, das zu überprüfen$e_X[X]$(und damit auch seine Schließung durch Kontinuität) abgebildet wird$e_K[K]\simeq K$dadurch$F$und so können wir verwenden$(e_K)^{-1} \circ F\restriction_{\beta(X)}$wie die versprochene Erweiterung$\beta X \to K$.