Existenz der Stein-Čech-Verdichtung

Es gibt ein bisschen Schlamperei auf Anhieb in der Definition von$\mathscr{C}_X$als Menge aller Kompaktifizierungen von$X$: sie meinen das wirklich$\mathscr{C}_X$ist ein Satz, der einen Vertreter jeder Homöomorphismusklasse von Kompaktifizierungen von enthält$X$. Das heißt, jedes Mitglied von$\mathscr{C}_X$ist eine Verdichtung von$X$, und jede Verdichtung von$X$ist homöomorph zu genau einem Mitglied von$\mathscr{C}_X$. Es braucht tatsächlich ein wenig mengentheoretische Finesse, um die Existenz dieser Menge zu rechtfertigen, aber egal; Wir nehmen das alles als gelesen und kümmern uns um die Topologie.

Lassen$Y=\prod\mathscr{C}_X$, und lass$\varphi:X\to Y:x\mapsto\big\langle c(x):cX\in\mathscr{C}_X\big\rangle$. Für jede$cX\in\mathscr{C}_X$,$c:X\to cX$ist eine Einbettung, also ist das klar$\varphi$ist eine Injektion. Zu zeigen, dass$\varphi$stetig ist, genügt es, dies für jeden zu zeigen$cX\in\mathscr{C}_X$und jede offene Menge$U$In$cX$,$\varphi^{-1}\left[\{y\in Y:y_{cX}\in U\}\right]$ist geöffnet$X$, da Sätze der Form$\{y\in Y:y_{cX}\in U\}$sind eine Unterbasis für die Produkttopologie auf$Y$. Aber

die offen ist$X$einfach weil$cX$ist eine Verdichtung von$X$.

(Hier$c[X]=\{c(x):x\in X\}\subseteq cX$.)

Zu zeigen, dass$\varphi$ist auch offen, nehme an, dass$U$ist eine offene Menge in$X$. Dann

Wenn$cX,c'X\in\mathscr{C}_X$Und$x\in X$,$c(x)\in cU$iff$c'(x)\in c'U$, So$\varphi[U]=\varphi[X]\cap\{y\in Y:y_{cX}\in cU\}$, Wo$cX$ist eine einzelne, feste Verdichtung von$X$. Und$\{y\in Y:y_{cX}\in cU\}$ist eine grundlegende offene Menge im Produkt$Y$, So$\varphi[U]$ist geöffnet$\varphi[X]$. Daher,$\varphi$Karten$x$homöomorph zu$\varphi[X]$.

Seit$Y$ist kompakt,$\operatorname{cl}_Y\varphi[X]$ist sicherlich eine Verdichtung von$X$; nennen$K$. Alles, was benötigt wird, um das Argument zu beenden, ist, dies für jeden zu zeigen$cX\in\mathscr{C}_X$es gibt eine kontinuierliche Surjektion$f:K\to cX$das behebt$X$punktuell. (Eigentlich ist das letzte bisschen verbale Schlamperei: Gemeint ist eigentlich das für jeden$x\in X$,$f(\varphi(x))=c(x)$.) Wir können einfach nehmen$f$die Projektionskarte von sein$Y$zum Faktor$cX$, beschränkt auf den Unterraum$K$:$f=\pi_{cX}\upharpoonright K$. Projektionen sind immer kontinuierlich, und$f(\varphi(x))=c(x)$nach der Definition von$\varphi$, also sind wir fertig:$K$ist die Verdichtung von Čech-Stone$X$.