Haben Stone-Čech-Verdichtungen die Eigenschaft, dass disjunkte abgeschlossene Teilmengen von XXX disjunkte Abschlüsse in βXβX\beta X haben?

Ja, das ist eine besondere Eigenschaft von Stone-Cech-Verdichtungen. Tatsächlich setzt die Eigenschaft ein, dass zwei beliebige disjunkte Nullen eintreten$X$haben disjunkte Abschlüsse in$\beta X$charakterisiert die Stone-Cech Verdichtung. Was ich hier schreibe, basiert auf dem Buch „Rings of Continuous Functions“ von Gillman und Jerison.

Um dies zu sehen, nehmen wir an, es handelt sich um einen vollständig regulären Raum$X$dicht ein$T$mit der Eigenschaft, dass jede stetige$\tau : X \to Y$mit$Y$compact hat eine durchgehende Verlängerung$\bar{\tau} : T \to Y$. Wenn zwei Null-Sets$A$Und$B$von$X$disjunkt sind, dann existiert eine Funktion$f \in C_b(X)$so dass$f|_{A} = 0$Und$f|_{B} = 1$. Dann$f$ist eine stetige Abbildung in den kompakten Raum$\operatorname{cl} (f(X))$, hat also eine stetige Verlängerung$\bar{f} \in C(T)$. Aber dann eindeutig$\bar{f}|_{A} = 0$So$\bar{f}|_{\operatorname{cl}(A)} = 0$, und ähnlich$\bar{f}|_{B} = 1$So$\bar{f}|_{\operatorname{cl}(B)} = 1$. Deshalb$\operatorname{cl}(A)$Und$\operatorname{cl}(B)$sind disjunkt.

Nehmen wir umgekehrt zwei beliebige disjunkte Nullmengen von an$X$haben disjunkte Abschlüsse in$T$. Lassen$\tau : X \to Y$sei eine stetige Abbildung aus$X$in einen kompakten Raum$Y$. Seit$X$ist dicht drin$T$, für jede$p \in T$da ist ein$z$-Ultrafilter$\mathscr{A}_p$An$X$mit Begrenzung$p$. Wegen der Annahme, dass disjunkte Nullmengen von$X$haben disjunkte Abschlüsse an$T$, Das$z$-Ultrafilter ist einzigartig (weil eindeutig$z$-Ultrafilter enthalten disjunkte Nullmengen). Daher für jeden$p \in T$wir können eine Menge definieren$\tau^\# \mathscr{A}_p := \{ E \subset Y : E \text{ is a zero-set and } \tau^{-1}(E) \in \mathscr{A} \}$. Das kann man schnell verifizieren$\tau^\# \mathscr{A}_p$ist eine Primzahl$z$-Filter an$Y$. Aber$Y$ist kompakt, also$\tau^\# \mathscr{A}_p$hat einen Häufungspunkt und konvergiert durch Primzahl zu diesem Häufungspunkt, den wir definieren$\overline{\tau}(p)$. Damit haben wir ein Mapping definiert$p \mapsto \bar{\tau}(p)$was sich deutlich verlängert$\tau$, da für alle$p \in X$,$p \in \bigcap \mathscr{A}$So$\tau(p) \in \bigcap \tau^\# \mathscr{A}_p$. Also müssen wir nur zeigen$\bar{\tau}$ist kontinuierlich. Lassen$p \in T$, Und$F$sei eine Nullmengenumgebung von$\bar{\tau}(p)$. Lassen$F'$eine Nullmenge sein, deren Komplement eine Umgebung von ist$\bar{\tau}(p)$Enthalten in$F$. Deshalb$F \cup F' = Y$, also lassen$Z =\tau^{-1}(F)$Und$Z' = \tau^{-1}(F')$, wir haben das$Z \cup Z' = X$, und so$\operatorname{cl}(Z) \cup \operatorname{cl}(Z') = T$, und besonders$T - \operatorname{cl}(Z') \subset \operatorname{cl}(Z)$. Jetzt$p \notin Z'$Weil$\bar{\tau}(p) \notin F'$, So$T - \operatorname{cl}(Z')$ist eine Nachbarschaft von$p$, Enthalten in$\operatorname{cl}(Z)$, So$\overline{\tau}(q) \in F$für jeden$q \in T - \operatorname{cl}(Z')$. Dies beweist das$\overline{\tau}$ist kontinuierlich.