Nach Bredons Topologie und Geometrie lassen wir sei die Menge aller stetigen Abbildungen auf einem ganz normalen Raum , definieren indem man es einstellt für jede Und , und erklären Sie die Schließung von In die Stone-Čech Verdichtung von sein . Munkres schreibt in Topology , dass es "eine Reihe von Anwendungen [der Stone-Čech-Kompaktifizierung] in der modernen Analyse" gibt, was angeblich "außerhalb des Rahmens [des] Buches" liegt. Ich habe mir ein paar Quellen angesehen, darunter The Stone-Čech compactification von Russell Walker, und konnte keine Anwendung des Theorems finden, die offenkundig analytisch ist. Vielleicht habe ich nicht genügend Hintergrundwissen in der Funktionsanalyse – ich nehme an, dass hier die prototypischen analytischen Anwendungen liegen würden – um die funktionsanalytischen Anwendungen zu erkennen, auf die ich gestoßen bin, aber der Punkt bleibt, den ich noch sehen muss so ein beispiel. So:
Was sind prototypische Anwendungen der Stone-Čech-Kompaktifizierung in der mathematischen Analyse und wo kann ich darüber nachlesen?
Ich bin mir nicht sicher, ob Munkres davon spricht, aber hier ist etwas, worüber er sprechen könnte . Lassen ein ganz normaler Raum sein und lassen sei der Ring beschränkter stetiger Funktionen . Dies ist eine kommutative Banach-Algebra , wenn sie mit der sup-Norm ausgestattet ist, und tatsächlich ist sie a -Algebra , wenn sie mit der trivialen Involution ausgestattet ist.
Dann das Gelfand-Spektrum von ist kanonisch isomorph zu ; entsprechend, ist kanonisch isomorph zu . Eine Anwendung ist hier die nach dem Rieszschen Darstellungssatz , positive lineare Funktionale auf können mit regelmäßigen Borel-Maßnahmen identifiziert werden . Ein Spezialfall dieser Konstruktion ist im Wikipedia- Artikel beschrieben .
Die Stone-Čech-Kompaktifizierung wird häufig in dem Buch Carothers: A short course on Banach space theory erwähnt , daher könnte dies eine gute Vermutung sein, wo man nach solchen Anwendungen suchen sollte.
Eine der Anwendungen ist Garlings Beweis für den Riesz-Darstellungssatz für , kompakt sein. Der Beweis wird zunächst für die Stone-Čech-Kompaktifizierung diskreter Räume geführt und dann auf beliebige kompakte Hausdorff-Räume erweitert.
Sie können Kapitel 16 von Carothers Buch oder einige der folgenden Papiere lesen:
Ich erstelle dieses Post-Community-Wiki, damit jemand, der mit dem Beweis besser vertraut ist, weitere Details hinzufügen kann. (Ich weiß nur, dass es einen solchen Beweis gibt, und verstehe mehr oder weniger, was die Grundideen dahinter sind.)
tb