Wenn ein Raum NICHT lokal kompakt ist, hat er dann einen dichten Rest in seiner Kompaktifizierung?

Jeder Raum muss in jeder seiner Verdichtungen dicht sein (das ist Teil der Definition).

Frage 1) Wenn der Raum NICHT lokal kompakt ist, bedeutet das, dass auch sein Rest in jeder seiner Kompaktifizierungen immer dicht ist?

Als Beispiel, l 2 ist in seiner Stone-Čech-Verdichtung dicht und sein Rest ist auch dort dicht. Vielleicht gibt es noch andere Beispiele, aber das war das erste, was mir in den Sinn kam.

Frage 2) Kann dies auch für andere Verdichtungen als Stone-Čech geschehen oder nicht?

Ich gehe von Hausdorff-Verdichtungen aus. Vielen Dank für die Bereitstellung von Einblicken.

Für Ihre erste Frage gibt es kompakte Räume, die nicht lokal kompakt sind (Alexandoff-Kompaktifizierung von Q ), also liefern diese ein Gegenbeispiel.
Was passiert, wenn Sie versuchen, 1 zu beweisen? Lassen X vollständig regulär und nicht lokal kompakt sein. Lassen A ∈ X sei ein Punkt ohne kompakte Nachbarschaft X . Zeigen A befindet sich in der Schließung von β X ∖ X . Dann überlegen Sie sich einen Punkt A mit einer kompakten Nachbarschaft in X .
Was ist Ihre Definition von „Kompaktisierung“? (Insbesondere macht es einen großen Unterschied, ob Sie Hausdorff-Räume benötigen.)
@EricWofsey Ich gehe von Hausdorff-Kompaktifizierungen aus. Zur Frage hinzugefügt.
Die Formulierung Ihrer Frage ist verwirrend. Ihr Eröffnungssatz enthält den verwirrenden Ausdruck „seine Verdichtung“, der eine besondere Verdichtung zu implizieren scheint, obwohl ich bezweifle, dass dies die Absicht ist. Wollen Sie damit sagen: „Jeder Raum muss in jeder seiner Verdichtungen dicht sein “?
@GEdgar Es tut mir leid, ich verstehe deinen Beweis nicht. Wie zeige ich die A ist in der schließung rest? Und dann was? Danke für die Erklärung.

Antworten (2)

Frage 1: Nein.

Lassen X = [ 0 , 1 ] ∖ N mit N = { 1 / N ∣ N ∈ N } . Dieser Raum ist nicht lokal kompakt, weil 0 hat keine kompakte Nachbarschaft. Es hat [ 0 , 1 ] als Verdichtung, aber hier hat es N als Rest, der nicht dicht ist.

Frage 2: Ja.

Daniel Wainfleet hat ein Beispiel gegeben: Take X = [ 0 , 1 ] ∩ Q . Es hat [ 0 , 1 ] als eine Verdichtung, die sich von der Stone-Čech-Verdichtung unterscheidet, und der Rest ist dicht.

Ich habe eine verwandte Frage, die ich noch nicht gelöst habe: Let X vollständig regulär sein und KEINE nicht-leere offene Teilmenge von X hat einen kompakten Verschluss. Wenn ich D X : X → Y ist eine Verdichtung (wobei Y Ist T 2 ) dann ist Y ∖ X dicht ein Y ?
@DanielWainfleet Ich habe darüber nachgedacht, aber ich habe keine Antwort.

Lassen Y kompakt sein T 2 Raum. Vermuten

D ⫋ C = C ¯ = D ¯ ⫋ Y .
Lassen X der Unterraum sein D ∪ ( Y ∖ C ) .

Dann id X : X → Y ist eine Verdichtung des nicht kompakten Raums X . Sein Rest ist C ∖ D , die von der nichtleeren Menge disjunkt ist Y ∖ C .

So Y ∖ C ist eine nicht leere offene Teilmenge von Y was vom Rest disjunkt ist.

Beispiel: Mit der üblichen Topologie, let Y = [ 0 , 2 ] Und C = [ 0 , 1 ] Und D = C ∩ Q .

@KritikerderElche. Das Q ist, ob der Rest in Y der Verdichtung eines nicht lokal kompakten Raums X, M u S T in Y dicht sein, und das A ist nein.
Ich habe meinen Kommentar gelöscht, weil es nicht zielführend war.
@DanielWainfleet Wie kann das D Unterraum von sein C und gleichzeitig seine Schließung?
@ Tereza Tizkova . D ist dicht in C, aber D ≠ C, wie angegeben und wie im Beispiel.
@KritikerderElche . OK. Verstanden.
Wenn ein Raum NICHT lokal kompakt ist, hat er dann einen dichten Rest in seiner Kompaktifizierung?
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