Welche Räume können als „Testräume“ für die Stone-Čech-Verdichtung genutzt werden?

Question

Welche Räume können als „Testräume“ für die Stone-Čech-Verdichtung genutzt werden?

Kompaktheit
Mathematik
Kategorientheorie
Allgemeine Topologie

Martin Schleziak

Stone-Čech-Verdichtung $\beta X$ eines völlig regulären Raumes $X$ ist durch die folgende Eigenschaft definiert: Let $X$ ein ganz normaler Raum sein. Lassen $i \colon X \hookrightarrow \beta X$ eine Einbettung in einen kompakten Hausdorff-Raum sein $\beta X$ . Dann für jede stetige Abbildung $f\colon X \to K$ Wo $K$ ein kompakter Hausdorff-Raum ist, existiert eine eindeutige kontinuierliche Abbildung $\widehat f \colon \beta X \to K$ so dass $\widehat f \circ i =f$ . (Mit anderen Worten, jede fortlaufende Karte $X\to K$ hat eine kontinuierliche Verlängerung $\beta X\to K$ .)

http://presheaf.com/?d=d4l86n4i40s4n18675m3rw6cye1p

Es ist bekannt, dass, wenn wir die obige Eigenschaft fordern, nicht für alle kompakten Hausdorff-Räume gilt $K$ aber nur für $K=[0,1]$ , dh für das Einheitsintervall, dann erhalten wir eine äquivalente Definition. (Ein mögliches Argument, dies zu zeigen, basiert auf der Tatsache, dass jeder kompakte Hausdorff-Raum in eine Potenz des Einheitsintervalls eingebettet ist.)

Meine Frage ist:

Welche (kompakten Hausdorff-)Räume $K$ hat eine ähnliche Eigenschaft wie das Einheitsintervall, dh die Eigenschaft, dass, wenn wir verlangen, dass die universelle Eigenschaft aus der Definition der Stone-Čech-Kompaktifizierung nur für diesen Raum gilt $K$ , dann erhalten wir eine äquivalente Definition? Ist die vollständige Charakterisierung bekannt?

Sind diese Räume genau die Erzeuger der reflektierenden Unterkategorie $\mathbf{CHaus}$ der Kategorie $\mathbf{Top}$ ? Hier $\mathbf{CHaus}$ bezeichnet die Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume, $\mathbf{Top}$ ist die Kategorie der topologischen Räume. Mit einem Erzeuger einer reflektierenden Unterkategorie meine ich einen Raum, dessen reflektierende Hülle genau diese Unterkategorie ist.

Dies gilt zum Beispiel, wenn wir den Einheitskreis nehmen $S$ , einfach weil $[0,1]$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $S$ .

Wenn wir nehmen $K=\{0,1\}$ mit der diskreten Topologie können wir nicht dasselbe Argument wie für das Einheitsintervall wiederholen. (Nicht jeder kompakte Raum ist ein Unterraum mit einer gewissen Macht $\{0,1\}^a$ .) Also obiges trifft wohl nicht zu $K=\{0.1\}$

Eric Wofsey

Es scheint ziemlich unnatürlich, Ihre Definition der Stone-Cech-Verdichtung in Bezug auf völlig regelmäßige Räume anzugeben

X

$X$ mit einer Einbettung in

β X

$\beta X$ , und nicht in Bezug auf willkürliche Räume

X

$X$ mit Karte zu

β X

$\beta X$ . Wenn Sie die letztere Aussage verwenden, können Sie einfach nehmen

X = [0, 1]

$X=[0,1]$ im ersten Teil meiner Antwort, und Sie können ein eher formelles Argument dafür vorbringen, wenn

K

$K$ ein Testraum ist, dann bettet sich jeder kompakte Hausdorff-Raum in eine Potenz von ein

K

$K$ .

Martin Schleziak

@EricWofsey Der einzige Grund, warum ich hinzugefügt habe, dass die Bedingung vollständig regelmäßig ist , war, dass nur vollständig regulärer Raum eine Verdichtung aufweisen kann (kann dicht in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden). (Bsp. Engelking fordert eine dichte Einbettung in die Definition der Verdichtung und definiert dann

β X

$\beta X$ als größte Verdichtung. Danke für deinen Kommentar – das ist gut zu wissen

β X

$\beta X$ wird auch für andere Räume untersucht (dh wenn wir nur eine kontinuierliche Karte anstelle einer Einbettung benötigen.)

Antworten (1)

Welche Räume können als „Testräume“ für die Stone-Čech-Verdichtung genutzt werden?

Es scheint ziemlich unnatürlich, Ihre Definition der Stone-Cech-Verdichtung in Bezug auf völlig regelmäßige Räume anzugeben $X$ mit einer Einbettung in $\beta X$ , und nicht in Bezug auf willkürliche Räume $X$ mit Karte zu $\beta X$ . Wenn Sie die letztere Aussage verwenden, können Sie einfach nehmen $X=[0,1]$ im ersten Teil meiner Antwort, und Sie können ein eher formelles Argument dafür vorbringen, wenn $K$ ein Testraum ist, dann bettet sich jeder kompakte Hausdorff-Raum in eine Potenz von ein $K$ .
@EricWofsey Der einzige Grund, warum ich hinzugefügt habe, dass die Bedingung vollständig regelmäßig ist , war, dass nur vollständig regulärer Raum eine Verdichtung aufweisen kann (kann dicht in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden). (Bsp. Engelking fordert eine dichte Einbettung in die Definition der Verdichtung und definiert dann $\beta X$ als größte Verdichtung. Danke für deinen Kommentar – das ist gut zu wissen $\beta X$ wird auch für andere Räume untersucht (dh wenn wir nur eine kontinuierliche Karte anstelle einer Einbettung benötigen.)

Eric Wofsey · Answer 1

Solche "Testräume" sind genau die kompakten Hausdorff-Räume, die einen dazu homöomorphen Unterraum enthalten $[0,1]$ . Ein solcher Raum ist eindeutig ein Testraum; umgekehrt, nehme an $[0,1]$ bettet sich nicht ein $K$ . Dann eigentlich jede Karte $[0,1]\to K$ ist konstant, da jeder wegverbundene Hausdorff-Raum bogenverbunden ist . Also nehmen $X$ jeder pfadverbundene völlig regelmäßige raum, jede map $X\to K$ ist konstant. Daraus folgt, dass jede Verdichtung von $X$ erfüllt Ihre universelle Eigenschaft für $K$ . Daher $K$ ist kein Testraum.

Was Ihre zweite Frage betrifft, ja, dies sind die Generatoren von CHaus als reflektierende Unterkategorie. Für jeden Prüfraum $K$ und jeder kompakte Hausdorff-Raum $X$ , gibt es eine Einbettung $i:X\to K^S$ für irgendeinen Satz $S$ (Dies folgt aus der Tatsache, dass $[0,1]$ bettet ein $K$ ). Darüber hinaus kann diese Einbettung als Entzerrer eines Kennfeldpaares realisiert werden $K^S\rightrightarrows K^T$ für einige $T$ : es ist der Entzerrer seines Cokernel-Paares $K^S\rightrightarrows Y$ , Und $Y$ ist wieder kompakt Hausdorff, also $Y$ bettet ein $K^T$ für einige $T$ . Zusammensetzen des Cokernel-Paares mit der Inklusion $Y\to K^T$ , wir bekommen ein Paar Karten $K^S\rightrightarrows K^T$ dessen Equalizer ist $i$ . Daher $X$ wird generiert durch $K$ Grenzen verwenden. Umgekehrt, wenn $K$ kein Testraum ist, dann ist er vollständig pfadgetrennt, und dann ist leicht zu erkennen, dass die reflektierende Unterkategorie von erzeugt wird $K$ besteht ausschließlich aus vollständig weggetrennten Räumen.

Welche Räume können als „Testräume“ für die Stone-Čech-Verdichtung genutzt werden?

Martin Schleziak

Eric Wofsey

Martin Schleziak

Antworten (1)

Eric Wofsey

Können wir eine Anzahl von Objekten in einer Kategorie bestimmen?

Warum der Begriff "Äquivalenz" im Satz von Manes über die Ultrafilter-Monade

Wie überprüft man die universelle Eigenschaft beim Bau der Stone-Čech-Verdichtung?

Adjunktionsräume von zweitabzählbaren, lokal kompakten Hausdorff-Räumen

Nicht abgeschlossener kompakter Unterraum eines Nicht-Hausdorff-Raums

Zusammenhang und Kompaktheit von NN\mathbb{N} mit Grundmengen der Form N≥nN≥n\mathbb{N}_{\ge n}?

Kostenloses Produkt von Gruppen mit Präsentationen

Wie beweise ich, dass kanonische Monomorphismen eines Koprodukts in der Kategorie der spitzen Räume topologische Einbettungen sind?

Existenz der Stein-Čech-Verdichtung

Was bedeutet es, dass "Kompaktisierung nur in Bezug auf die Topologie des Basisraums definiert ist"?