Was bedeutet es, dass "Kompaktisierung nur in Bezug auf die Topologie des Basisraums definiert ist"?

Wie viele kurze und kryptische Sätze, die in Einleitungen von Forschungsarbeiten zu finden sind, soll dieser „konkrete Darstellungssatz“ höchstwahrscheinlich an eine Art Intuition appellieren, die ein weniger glücklicher Leser möglicherweise nicht teilt. In diesem Fall ist es ein Appell an ein intuitives Verständnis einer breiten Klasse von Verdichtungskonstruktionen.

Es gibt viele, viele, viele Möglichkeiten, Kompaktifizierungen durch Einbetten zu konstruieren$X$in kompakte Räume: Wenn$f : X \to C$ist jede Einbettung von$X$in einen kompakten Raum$C$, was einen Homöomorphismus von bedeutet$X$auf einen Unterraum von$C$, dann die Schließung des Bildes$\overline{\text{image}(f)}$kann als Verdichtung angesehen werden$X$.

Lass uns nehmen$X = (0,1]$Zum Beispiel.

Wir könnten einbetten$f : (0,1] \to \mathbb R^2$nach der Formel

$$f(x) = (x,\sin(1/x))$$ Der Unterraum$\text{image}(f) \subset \mathbb R^2$ist beschränkt und daher in einer abgeschlossenen Kugel enthalten, die kompakt ist. Die Schließung$\overline{\text{image}(f)}$ist also eine Verdichtung von$(0,1]$, bekannt als die Sinuskurve des Topologen (oder zumindest der größte Teil der Sinuskurve des Topologen, einschließlich des interessantesten Teils davon). Beachte das$\overline{\text{image}(f)}$wird durch Hinzufügen eines Liniensegments zu erhalten$\text{image}(f)$, nämlich$\{0\} \times [-1,+1]$.

Oder wir könnten eine andere Einbettung wählen$f : (0,1] \to \mathbb R^2$mit der Formel

$$f(x) = (r(x) \cos(\theta(x)), r(x) \sin(\theta(x)))$$ Wo$r(x)= 1 - x$Und$\theta(x) = \frac{1}{x}$. Nochmal$\text{image}(f)$ist beschränkt, was eine Kompaktifizierung ergibt$\overline{\text{image}(f)}$das erhält man von$\text{image}(f)$durch Hinzufügen des Einheitskreises zu$\text{image}(f)$.

Lassen Sie nun Ihrer Fantasie freien Lauf: indem Sie „konkrete Darstellungen“ des Raumes wählen$X = (0,1]$, zum Beispiel Darstellungen als begrenzte Teilmengen eines euklidischen Raums$\mathbb R^n$, erhalten wir viele, viele seltsame Verdichtungen von$X$.

Was dieser Satz in einem ziemlich groben und intuitiven Sinn bedeutet, ist Folgendes: ein$H$-Kompaktifizierung ist keine dieser zufälligen, dummen Kompaktifizierungen der "konkreten Darstellung".

Die übliche Definition einer Verdichtung$(Y,e)$eines Raumes$X$ist ein Paar von einem kompakten Raum$Y$und eine kontinuierliche$e: X \to Y$so dass$e[X]$ist dicht drin$Y$Und$e\restriction X \to e[X]$ist ein Homöomorphismus.

Oft nehmen wir$Y$Hausdorff sein und festlegen$X$nicht kompakt sein, um einige Trivialitäten zu vermeiden.

In der Praxis tun wir so$X \subseteq Y$als Unterraum (als$e$ist sowieso eine Einbettung) und$X$ist dicht, und schreiben$Y$als$\gamma X$oder$\alpha X$oder$\beta X$(wenn wir eine Art Konstruktion haben, von der wir ausgehen können$X$Zu$Y$).