Erweiterung offener Karten auf Stone-Čech-Verdichtungen

Lassen$X$ein Čech-vollständiger Raum sein, und$Y$ein parakompakter Raum. Vermuten$f\colon X\to Y$ist eine kontinuierliche und offene Surjektion.

Seit$Y$ist ganz normal wir haben das$\beta(Y)$ist homöomorph zu$Y$als eine dichte Teilmenge von$\beta Y$(die Stone-Čech-Verdichtung).

Wir können, wenn ja, nehmen$\hat f\colon X\to\beta Y$definiert als$\beta\circ f$, als stetige Funktion aus$X$in einen kompakten Hausdorff-Raum.

Durch die universelle Eigenschaft von$\beta X$wir können einmalig verlängern$\hat f$zu einem kontinuierlichen$\tilde f\colon\beta X\to\beta Y$so dass$\tilde f|_{\beta(X)} = \hat f\circ\beta$. Insbesondere$\tilde f$ist dran$\beta Y$aus zwei Gründen:

1. $\tilde f$ist stetig aus einem kompakten Gebiet, daher ist sein Bild geschlossen; Und
2. $\tilde f$ist auf einer dichten Teilmenge von$\beta Y$.

Daher ist es auf seine Schließung, die ist$\beta Y$.

Meine Frage ist, ob die Tatsache oder nicht$Y$Mit diesem Paracompact können wir die Karte so erweitern, dass$\tilde f$ist auch eine offene Surjektion.

(Die Motivation besteht darin, einen Beweis für das in meiner vorherigen Frage erwähnte Theorem zu schreiben , und ein Ergebnis wie oben würde eine schnelle Lösung des Problems liefern. Unabhängig davon ist diese Frage von sich aus interessant.)

Bearbeiten (3. Oktober): Wenn es in ein paar Tagen keine Antwort gibt, werde ich versuchen, dies auch auf MathOverflow zu posten.