Wann ist die Stone-Čech-Verdichtung dasselbe wie die Ein-Punkt-Verdichtung?

Für den Platz ω 1 (mit der Ordnungstopologie) haben wir β ω 1 = ω 1 + 1 (oder β [ 0 , ω 1 ) = [ 0 , ω 1 ] , wenn Sie diese Notation bevorzugen), dh es ist ein Beispiel für einen Raum, für den die Stone-Čech-Kompaktifizierung und die Ein-Punkt-Kompaktifizierung (auch bekannt als Alexandroff-Kompaktifizierung) zusammenfallen. (Siehe zum Beispiel diese Antwort und diesen Blog .)

Gibt es eine bekannte Charakterisierung topologischer Räume wie die Stone-Čech-Verdichtung β X und Ein-Punkt-Verdichtung ω X sind gleich?

Antworten (1)

Das Folgende stammt aus einem Problem in Engelking (Problem 3.12.16, S.234) und wird E. Hewitt, Certain generalizations of the Weierstrass approximation theorem , Duke Math. zugeschrieben . J. 14 (1947), 419-427:

...[F]oder jeden Tychonoff-Raum X die folgenden Bedingungen sind äquivalent

  1. Der Raum X hat eine eindeutige (bis zur Äquivalenz) Verdichtung.
  2. Der Raum X ist kompakt bzw | β X ∖ X | = 1 .
  3. Wenn zwei abgeschlossene Teilmengen von X vollständig getrennt sind, dann ist mindestens einer von ihnen kompakt.
Vielen Dank! Falls sie für jemanden nützlich sind, hier sind Links zu Hewitts Artikel: projecteuclid , doi:10.1215/S0012-7094-47-01435-X , MR , Zentralblatt . (Ich habe in Engelking nach Stellen gesucht, an denen Alexandroff-Kompaktifizierungen erwähnt werden, also habe ich diese verpasst.)
Diese Räume werden in einigen Texten als "fast kompakt" bezeichnet. Ich glaube, dass dies auch eine Übung in Ringen kontinuierlicher Funktionen ist.
@HennoBrandsma du hast recht: Übung 6J in Gillman-Jerison heißt fast kompakte Räume und besagt, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind: (1) Von zwei beliebigen disjunkten Nullsätzen X , mindestens einer ist kompakt. (2) | β X − X | ≤ 1 . (3) X ⊂ T impliziert F ( X ) ⊂ F ( T ) . (4) Jede Einbettung von X ist ein C ∗ -Einbettung. (5) Jede Einbettung von X ist eine C-Einbettung. (6) Die einzige Verdichtung von X Ist β X . (7) Jede Einbettung eines beliebigen kontinuierlichen Bildes von X ist eine C-Einbettung.
@MartinSleziak: Sie könnten (8) hinzufügen: Das Leerzeichen X lässt eine einzigartige Einheitlichkeit zu. Siehe Kapitel II, Übung 11 (c) in JR Isbell, Uniform spaces .
Es ist erwähnenswert, dass die erste nicht zählbare Ordnungszahl ein Beispiel für einen nicht kompakten Raum ist, der die obigen Bedingungen erfüllt.
Wann ist die Stone-Čech-Verdichtung dasselbe wie die Ein-Punkt-Verdichtung?
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