Können wir eine Anzahl von Objekten in einer Kategorie bestimmen?

Gibt es eine Möglichkeit, eine Kategorie zu betrachten und festzustellen, ob diese Kategorie null, eins, zählbare, unendliche oder eine bestimmte Anzahl von Objekten hat?

Nein, Sie müssen jede Kategorie separat analysieren. Es gibt und kann keine allgemeine Methode (wie beim Algorithmus) geben, um dies zu lösen.

Wenn wir einen topologischen Raum haben und alle seine Verdichtungen nehmen, die eine Kategorie bilden - können wir (unter Verwendung von Werkzeugen der Kategorietheorie oder was auch immer) bestimmen, wie viele Objekte es in der Kategorie gibt?

Wenn$X$ist ein topologischer Raum und$Y$ist jede Menge mit einer Bijektion$f:X\to Y$Dann$Y$kann über eine topologische Raumstruktur gegeben werden$U\subseteq Y$ist offen, wenn und nur wenn$f^{-1}(U)$ist geöffnet$X$. Auf diese Art$f$wird zu einem Homöomorphismus. Und daher wenn$K$ist eine Verdichtung von etwas Raum$X$dann irgendein Satz$Y$(gleichbedeutend mit$K$) kann in einen Raum umgewandelt werden, der homöomorph zu ist$K$, und somit$Y$kann in Verdichtung umgewandelt werden$X$. Homöomorph, aber verschieden von$K$. Daher ist die Kategorie der Kompaktifizierungen mindestens so groß wie die Kategorie aller Mengen einer festen Kardinalität, die eine echte Klasse ist.

Selbst bis auf Homöomorphismus sind Kompaktifizierungen mindestens so groß wie die Kategorie der Mengen. Wenn$K$ist eine Kompaktifizierung von einigen$X$Und$Y$eine beliebige Menge ist, dann die disjunkte Vereinigung$K\sqcup Y$zusammen mit$\{U |\ U\text{ open in }K\}\cup\{K\sqcup Y\}$Topologie ist ein kompakter Raum, so dass$X$bettet sich darin als dichte Teilmenge ein.

Interessant wird die Sache, wenn wir nur Tychonoff-Räume betrachten (die obige Konstruktion ist niemals Tychonoff). In dieser Situation kann gezeigt werden, dass if$X$ist ein Tychonoff-Raum und$K$seine Tychonoff-Verdichtung also$|K|\leq 2^{2^{|X|}}$. Und daher bilden Tychonoff-Kompaktifizierungen im Gegensatz zu anderen Situationen eine Menge, aber nur bis auf Homöomorphismus. Die genaue Kardinalität hängt jedoch stark davon ab$X$und ich glaube nicht, dass eine solche Klassifizierung existiert.

Edit: Ich werde die zeigen$|K|\leq 2^{2^{|X|}}$Ungleichheit wann$X$ist Tychonoff. Natürlich, wenn$X$endlich ist, muss sie kompakt diskret sein und wir können sie also nicht in einen anderen kompakten Tychonoff-Raum (als dichte Teilmenge) einbetten$|K|=|X|$.

Nun nehme an$X$ist unendlich und bedenke$\beta X$, die Stone-Čech-Verdichtung von$X$. Es ist bekannt, dass jede Verdichtung von$X$ist ein Bild (auch Quotient) von$\beta X$. Dies folgt direkt aus der universellen Eigenschaft von$\beta X$: eine Einbettung gegeben$f:X\to K$in kompakt$K$mit dichtem Bild haben wir die induzierte Karte$\beta f:\beta X\to K$dessen Bild mindestens ist$f(X)$. Aber seit$\overline{f(X)}=K$Dann$\beta f(\beta X)=\overline{\beta f(\beta X)}=K$und somit$\beta f$ist dran. Daher ist die Kardinalität jeder Kompaktifizierung maximal$|\beta X|$.

Nun, wie ist$\beta X$konstruiert? Eine Möglichkeit besteht darin, es als eine bestimmte Teilmenge von zu konstruieren$[0,1]^C$Wo$C=\{f:X\to[0,1]\ |\ f\text{ is continuous}\}$mit der Open-Closed-Topologie (siehe Wiki auf Stone–Čech). Und daher ist jede Verdichtung höchstens von Kardinalität$\frak{c}^{\frak{c}^{|X|}}$Wo$\frak{c}=2^{\aleph_0}$bezeichnet die Kardinalität von reellen Zahlen. Damit ist die Kardinalität höchstens$2^{\aleph_0\cdot 2^{\aleph_0\cdot |X|}}$. Aber seit$X$unendlich ist, dann vereinfacht sich das obige zu$2^{2^{|X|}}$.

Beachten Sie, dass$2^{2^{|X|}}$Grenze kann nicht verbessert werden. Es ist bekannt, dass die Stone-Čech-Kompaktisierung von Naturals von solcher Kardinalität ist. Was natürlich nicht die Frage beantwortet: Wie viele nicht-homöomorphe Kompaktifizierungen gibt es für eine gegebene$X$?