Der Beweis eines rationalen Ausdrucks ist surjektiv

Ich muss beweisen, dass die Funktion$f:(-1,1)\rightarrow\mathbb{R}$definiert von$f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ist surjektiv.

Meine Arbeit.

$b = \frac{a}{a^2 - 1} \iff b(a^2 -1)=a \iff ba^2 - b - a=0$

Von hier aus habe ich ein paar Fälle gemacht:

Fall 1)$b=0$. Dann$a=0$.

Mit der quadratischen Formel:$a = \frac{1\pm \sqrt{1+4b^2}}{2b}$.

Fall 2)$b \gt0$. Dann$a = \frac{1+ \sqrt{1+4b^2}}{2b}$ $\notin (-1,1)$ $\forall$B$\in R$.

Fall 3)$b \gt0$. Dann$a = \frac{1- \sqrt{1+4b^2}}{2b}$ $\in (-1,1)$ $\forall$B$\in R$.

Unter Verwendung von Fall 1 und Fall 3 ist f subjektiv. Ist das richtig? Ich kann Calculus nicht benutzen.