Die Antwort auf diese Frage sollte sehr offensichtlich und einfach sein, sobald Sie es erkennen. Ich habe es nicht herausgefunden und bin dabei, den Verstand zu verlieren! Alle Erklärungen sind sehr willkommen!
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Für die Funktionen g, h: A -> B.
Die Funktion k: A -> B x B sei durch die folgende Funktion definiert:
k(a) = (g(a), h(a)) für jedes a ∈ A.
Beweisen Sie, dass |A| = 1, wenn g injektiv und k surjektiv ist.
Wir können tatsächlich | erhalten B | ≤ 1
Angenommen b 1 ≠ b 2
Angenommen A ≠ ∅ ≠ B .
Nimm ein a ∈ A .Betrachten Sie ein beliebiges a ′ ∈ A .Jetzt kist surjektiv auf B × B ,und ( g ( a ) , h ( a ′ ) ) ∈ B × B ,also existiert ein ″ ∈ Amit ( g ( a ″ ) , h ( a ″ ) = k ( a ″ ) = ( g ( a ) , h ( a ′ ) ) .
Eine Variation. Gegeben sei k : A → B × Bsurjektiv ist, haben wir per Definition ∀ ( b 1 , b 2 ) ∈ B × B ∃ a ∈ A : k ( a ) = ( g ( a ) , h ( a ) ) = ( b 1 , b 2 )
Aus (1) und (2) sehen wir g ( a 1 ) = b 1 = g ( a 2 ).
Seit ginjektiv ist, haben wir a 1 = a 2.
Aber dann haben wir k ( a 1 ) = k ( a 2 )so dass b 1 = b 2und wir schließen | B | = 1 .
Seit | B | = 1wir können B = { b } nehmenund betrachte g : A → { b }
Seien a 1 , a 2 ∈ A. Wir haben nach (3) g ( a 1 ) = b g ( a 2 ) = b
Seit ginjektiv ist, folgt a 1 = a 2und wir schließen schließlich | Ein | = 1 .
Georg Braun
Benutzer1729