Warum gibt es keine Funktion mit einer nicht leeren Domäne und einem leeren Bereich?

Question

Warum gibt es keine Funktion mit einer nicht leeren Domäne und einem leeren Bereich?

Funktionen
Mathematik
elementare Mengenlehre

Detektiv König

Lassen $A$ eine nichtleere Menge sein und $B= \emptyset$ ; Dann $A \times B$ Ist ein Satz. Und lass $F$ eine Funktion sein $A \to B$ . Dann $F \subseteq A \times B$ . Nach dem Axiom der Spezifikation $F$ muss vorhanden sein (wenn ich da nichts vermasselt habe).

Aber das Buch, das ich gerade lese, Elements of Set Theory von Enderton, sagt, dass keine Funktion eine nicht leere Domäne und einen leeren Bereich haben kann, und es werden keine weiteren Details angegeben.

Daher meine Verwirrung. Seine Aussage gegen meinen Beweis. Das einzige Axiom, soweit ich weiß, das beweist, dass eine solche Menge nicht existiert, ist das Regelmäßigkeitsaxiom. Aber einen solchen Beweis kann ich nicht führen. Also brauche ich Hilfe. Ich hoffe, jemand kann klar erklären, warum eine solche Funktion nicht existiert und warum dies nicht dem Axiom der Spezifikation widerspricht.

Lassen Sie mich meine Verwirrung genauer erklären:

Das weiß ich erstmal $A \times \emptyset$ ist leer. Aber $\emptyset \times A$ ist ebenfalls eine leere Menge, dennoch gibt es kein Problem mit Funktionen mit einer leeren Domäne .

Das Buch, das ich gerade lese, definiert eine Funktion als:

„Eine Funktion ist eine Relation, so dass für jedes $x$ In $\operatorname{dom} F$ Es gibt nur eins $y$ so dass $x \mathop F y$ ."

und eine Beziehung als:

"Eine Relation ist eine Menge geordneter Paare."

Lassen Sie mich nun die Funktion definieren $F$ als:

F = {⟨ X, j ⟩ ∣ X \in A Und j \in B und ... andere Bedingungen}

$F = \{\langle x,y \rangle \mid x \in A \text{ and } y \in B \text{ and ... other conditions} \}$ also ist es gleich:

F = {⟨ X, j ⟩ \in A \times B ∣ ... andere Bedingungen} .

$F = \{ \langle x,y \rangle \in A \times B \mid \text{... other conditions} \}.$

Heißt das nicht $F$ erfüllt die Bedingungen des Spezifikationsaxioms und existiert daher?

Was ich konkret fragen möchte ist:

Wie definiert man eine Funktion $F$ (so genau wie möglich)?
Warum impliziert das obige Argument nicht, dass eine Funktion $F: A \to B$ immer vorhanden?
Tut $F \subseteq A \times B$ halte noch wann $B = \emptyset$ ?

(Die Antwort auf #2 kann nicht einfach so lauten $A \times B = \emptyset$ , Weil $B \times A = \emptyset$ auch, aber eine Funktion $B \to A$ existiert .)

Andrés E. Caicedo

Wie genau verwenden Sie das Spezifikationsaxiom? Der Satz

C

$\mathcal C$ von Funktionen aus

A

$A$ Zu

B

$B$ sicherlich existiert, und die Spezifikation kann verwendet werden, um dies zu überprüfen. Aber die Existenz von

C

$\mathcal C$ bedeutet nicht das Vorhandensein von Funktionen

F : A \to B

$F:A\to B$ . In der Tat,

C = \emptyset

$\mathcal C=\emptyset$ .

Dustan Levenstein

Für jeden

a \in A

$a \in A$ , es muss ein Unique vorhanden sein

b \in B

$b \in B$ so dass

(a, b) \in F

$(a, b) \in F$ . Können Sie das Problem mit dieser Einschränkung sehen, wenn

A

$A$ ist nicht leer und

B

$B$ ist leer?

Detektiv König

@AndresCaicedo Das Buch definiert, dass eine Funktion eine Beziehung ist

F

$F$ so dass für jeden

x

$x$ im Dom

F

$F$ es gibt nur ein y so dass

x F y

$xFy$ .

Taladris

Was ist Ihre Definition einer Funktion

F : A \to B

$F:A\to B$ ? Eine Teilmenge

F

$F$ von

A \times B

$A\times B$ so dass für alle

a

$a$ In

A

$A$ , gibt es ein Unikat

b

$b$ In

B

$B$ so dass

(a, b) \in F

$(a,b)\in F$ (So

d o m (F) = A

$dom(F)=A$ per Definition)? Oder eine Teilmenge

F

$F$ von

A \times B

$A\times B$ so dass für alle

a

$a$ In

A

$A$ , es gibt höchstens einen

b

$b$ In

B

$B$ so dass

(a, b) \in F

$(a,b)\in F$ (so dass

d o m (F)

$dom(F)$ kann sich von unterscheiden

A

$A$ )? Im ersten Fall ist die Antwort klar. Im zweiten Fall scheint es eine willkürliche Entscheidung zu sein, sie aufzuerlegen

d o m (F) \neq \emptyset

$dom(F)\neq\emptyset$ .

Andrés E. Caicedo

@DetectiveKing Soll dieser Kommentar genau so sein, wie Sie das Axiom der Spezifikation verwendet haben?

Mauro ALLEGRANZA

@DetectiveKing - das Problem liegt in der Definition der Beziehung ; eine Relation

R \subseteq A \times B

$R \subseteq A \times B$ ist eine Menge von Paaren (a,b) so dass

a \in A

$a \in A$ Und

b \in B

$b \in B$ . Wenn

B = \emptyset

$B=∅$ , wir haben kein

b

$b$ ...

Detektiv König

@AndresCaicedo Ich kann die Existenz von sehen

C

$C$ bedeutet nicht das Vorhandensein von Funktionen

F

$F$ .Aber mein Beweis verwendet

F

$F$ als Teilmenge von

A \times B

$A \times B$ .

Andrés E. Caicedo

@DetectiveKing Hör auf, vage zu sein und schreibe deinen Beweis auf. Wie soll Ihnen irgendjemand helfen, wenn Sie Ihren Beweis geheim halten?

Detektiv König

@AndresCaicedo Ich habe meinen Beitrag aktualisiert. Ich habe mein Bestes versucht, um meine Probleme zu erklären.

Andrés E. Caicedo

Ihre Definition von

S

$S$ macht keinen Sinn. Ihre Definition von

F

$F$ macht auch keinen sinn. Vielleicht meintest du

S = {⟨ x, y ⟩ ∣ x \in A, y \in B}

$S=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A,y\in B\}$ ? Dann

S

$S$ ist nur

A \times B

$A\times B$ , was in diesem Fall tatsächlich der Fall ist

\emptyset

$\emptyset$ . Sprichwort

S = {⟨ x, y ⟩ ∣ \exists x \in A \dots}

$S=\{\langle x,y\rangle \mid \exists x\in A\dots\}$ macht keinen Sinn. Der

x

$x$ auf der linken Seite der

∣

$\mid$ wird nicht mit dem rechten übereinstimmen, der jetzt quantifiziert wird. Sie "fahren" dann fort, was zu schreiben

F

$F$ ist, aber du nicht. Sie haben einige Ellipsen geschrieben und haben das Falsche

\exists x \in A

$\exists x\in A$ Und

\exists y \in B

$\exists y\in B$ dort genauso. Es ist noch nicht präzise genug.

Detektiv König

@AndresCaicedo ja.

S = A \times B

$S = A \times B$ .Ich gebe nur die Demo darüber, wie ich eine Beziehung definiere, die ich verwenden werde, um eine Funktion zu definieren

F

$F$ . Ich beziehe mich auf das Wiki . Und es gibt keine Definition in formaler Sprache. Ich habe eine falsche Schreibweise, aber die Hauptidee ist hier. Vielleicht eine andere Möglichkeit, die Frage zu stellen: Wie definieren Sie eine Funktion

F

$F$ ? Und warum

F

$F$ existiert nach Ihrer Definition nicht?

F \subseteq A \times B

$F \subseteq A \times B$ noch halten? Ich möchte die Verantwortung nicht verschieben, aber vielleicht ist die Art und Weise, wie ich frage, klarer. Machen Sie eine Antwort, wenn es Ihnen nichts ausmacht.

Ilmari Karonen

@DetectiveKing: Ich habe gerade Ihre Frage bearbeitet, um sie zu verdeutlichen und einige Wiederholungen zu vermeiden. Fühlen Sie sich frei, alles zu beheben, was nicht mit dem übereinstimmt, was Sie fragen wollten (und um die Frage weiter zu vereinfachen, ob noch etwas Unnötiges übrig ist). (Ps. Für die Zukunft gilt: Wenn Sie Ihre Frage anhand von Kommentaren verbessern, wird es im Allgemeinen als besser angesehen, Ihre Frage „an Ort und Stelle“ zu bearbeiten, um sie zu verdeutlichen, als einfach weitere Fragen am Ende anzuhängen.)

Antworten (6)

Warum gibt es keine Funktion mit einer nicht leeren Domäne und einem leeren Bereich?

Wie genau verwenden Sie das Spezifikationsaxiom? Der Satz $\mathcal C$ von Funktionen aus $A$ Zu $B$ sicherlich existiert, und die Spezifikation kann verwendet werden, um dies zu überprüfen. Aber die Existenz von $\mathcal C$ bedeutet nicht das Vorhandensein von Funktionen $F:A\to B$ . In der Tat, $\mathcal C=\emptyset$ .
Für jeden $a \in A$ , es muss ein Unique vorhanden sein $b \in B$ so dass $(a, b) \in F$ . Können Sie das Problem mit dieser Einschränkung sehen, wenn $A$ ist nicht leer und $B$ ist leer?
@AndresCaicedo Das Buch definiert, dass eine Funktion eine Beziehung ist $F$ so dass für jeden $x$ im Dom $F$ es gibt nur ein y so dass $xFy$ .
Was ist Ihre Definition einer Funktion $F:A\to B$ ? Eine Teilmenge $F$ von $A\times B$ so dass für alle $a$ In $A$ , gibt es ein Unikat $b$ In $B$ so dass $(a,b)\in F$ (So $dom(F)=A$ per Definition)? Oder eine Teilmenge $F$ von $A\times B$ so dass für alle $a$ In $A$ , es gibt höchstens einen $b$ In $B$ so dass $(a,b)\in F$ (so dass $dom(F)$ kann sich von unterscheiden $A$ )? Im ersten Fall ist die Antwort klar. Im zweiten Fall scheint es eine willkürliche Entscheidung zu sein, sie aufzuerlegen $dom(F)\neq\emptyset$ .
@DetectiveKing Soll dieser Kommentar genau so sein, wie Sie das Axiom der Spezifikation verwendet haben?
@DetectiveKing - das Problem liegt in der Definition der Beziehung ; eine Relation $R \subseteq A \times B$ ist eine Menge von Paaren (a,b) so dass $a \in A$ Und $b \in B$ . Wenn $B=∅$ , wir haben kein $b$ ...
@AndresCaicedo Ich kann die Existenz von sehen $C$ bedeutet nicht das Vorhandensein von Funktionen $F$ .Aber mein Beweis verwendet $F$ als Teilmenge von $A \times B$ .
@DetectiveKing Hör auf, vage zu sein und schreibe deinen Beweis auf. Wie soll Ihnen irgendjemand helfen, wenn Sie Ihren Beweis geheim halten?
@AndresCaicedo Ich habe meinen Beitrag aktualisiert. Ich habe mein Bestes versucht, um meine Probleme zu erklären.
Ihre Definition von $S$ macht keinen Sinn. Ihre Definition von $F$ macht auch keinen sinn. Vielleicht meintest du $S=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A,y\in B\}$ ? Dann $S$ ist nur $A\times B$ , was in diesem Fall tatsächlich der Fall ist $\emptyset$ . Sprichwort $S=\{\langle x,y\rangle \mid \exists x\in A\dots\}$ macht keinen Sinn. Der $x$ auf der linken Seite der $\mid$ wird nicht mit dem rechten übereinstimmen, der jetzt quantifiziert wird. Sie "fahren" dann fort, was zu schreiben $F$ ist, aber du nicht. Sie haben einige Ellipsen geschrieben und haben das Falsche $\exists x\in A$ Und $\exists y\in B$ dort genauso. Es ist noch nicht präzise genug.
@AndresCaicedo ja. $S = A \times B$ .Ich gebe nur die Demo darüber, wie ich eine Beziehung definiere, die ich verwenden werde, um eine Funktion zu definieren $F$ . Ich beziehe mich auf das Wiki . Und es gibt keine Definition in formaler Sprache. Ich habe eine falsche Schreibweise, aber die Hauptidee ist hier. Vielleicht eine andere Möglichkeit, die Frage zu stellen: Wie definieren Sie eine Funktion $F$ ? Und warum $F$ existiert nach Ihrer Definition nicht? $F \subseteq A \times B$ noch halten? Ich möchte die Verantwortung nicht verschieben, aber vielleicht ist die Art und Weise, wie ich frage, klarer. Machen Sie eine Antwort, wenn es Ihnen nichts ausmacht.
@DetectiveKing: Ich habe gerade Ihre Frage bearbeitet, um sie zu verdeutlichen und einige Wiederholungen zu vermeiden. Fühlen Sie sich frei, alles zu beheben, was nicht mit dem übereinstimmt, was Sie fragen wollten (und um die Frage weiter zu vereinfachen, ob noch etwas Unnötiges übrig ist). (Ps. Für die Zukunft gilt: Wenn Sie Ihre Frage anhand von Kommentaren verbessern, wird es im Allgemeinen als besser angesehen, Ihre Frage „an Ort und Stelle“ zu bearbeiten, um sie zu verdeutlichen, als einfach weitere Fragen am Ende anzuhängen.)

Ilmari Karonen · Answer 1

Der mengentheoretische Standardweg zur Definition von Funktionen ist folgender:

Das kartesische Produkt der Mengen $A$ Und $B$ , geschrieben als $A \times B$ , ist die Menge aller geordneten Paare , in denen sich das erste Element des Paares befindet $A$ und die zweite drin $B$ :
$A \times B = {(A, B) : A \in A, B \in B} .$ $A \times B = \{(a,b): a \in A, b \in B\}.$

(Diese geordneten Paare als Mengen darzustellen und zu zeigen, dass das kartesische Produkt zweier Mengen unter den Axiomen der Mengenlehre tatsächlich eine Menge ist, sind Details, die wir hier getrost überspringen können.)
Eine Beziehung $R$ zwischen den Sätzen $A$ Und $B$ ist eine Teilmenge ihres kartesischen Produkts: $R \subset A \times B$ .

(Oft schreiben wir aus Konvention $a \mathop R b$ als Abkürzung für $(a,b) \in R$ ; Dies ist besonders häufig der Fall, wenn das für die Beziehung gewählte Symbol kein Buchstabe ist $R$ , sondern etwas Abstraktes wie $\sim$ oder $\odot$ .)
Eine Funktion $f$ aus $A$ Zu $B$ ist eine Beziehung zwischen $A$ Und $B$ (d. h. eine Teilmenge ihres kartesischen Produkts), die die folgenden zwei zusätzlichen Bedingungen erfüllt:
- Existenz von Bildern : für alle $a \in A$ , da ist ein $b \in B$ so dass $(a,b) \in f$ .
- Einzigartigkeit von Bildern : if $(a,b) \in f$ Und $(a,b') \in f$ , Dann $b = b'$ .
Wenn die Beziehung $f$ ist dann für jeden eine Funktion $a \in A$ , gibt es genau einen $b \in B$ befriedigend $(a,b) \in f$ . Wir nennen das $b$ das Bild von $a$ unter $f$ , geschrieben $f(a)$ , so dass:

$f (a) = b ⟺ (a, b) \in f .$

Also, was ist mit wann $B = \varnothing$ ? In diesem Fall für alle $A$ , das kartesische Produkt $A \times B = \varnothing$ , da es keine Paare gibt $(a,b)$ so dass $a \in A$ Und $b \in B$ . (Dasselbe gilt natürlich auch wann immer $A = \varnothing$ .)

Da die einzige Teilmenge von $\varnothing$ Ist $\varnothing$ , die einzige Beziehung zwischen $A$ Und $B$ ist die leere Relation $\varnothing$ . Die Frage ist also: Ist die leere Relation eine Funktion von $A$ Zu $B$ ?

Wenn $A \ne \varnothing$ , nein, ist es nicht, weil es mindestens einen gibt $a \in A$ , aber es kann keine geben $b$ so dass $(a,b) \in \varnothing$ .
Wenn $A = \varnothing$ , Ja, so ist es. In diesem Fall sind sowohl die Existenz- als auch die Eindeutigkeitsbedingungen vage wahr, da es keine gibt $a \in A$ woran sie scheitern könnten.

Somit gibt es eine (einzelne) Funktion von der leeren Menge zu jeder Menge (einschließlich der leeren Menge selbst), aber es gibt keine Funktion von einer nicht leeren Menge zur leeren Menge.

Danke für die Antwort. Sie ist umfassend und hilfreich. Ich gebe Ihnen ein Kopfgeld, solange ich kann.
Gute Antwort. Ich habe ein Buch über homologische Algebra gelesen und fand diese Antwort für mich nützlich. Danke.

Asaf Karagila · Answer 2

Asaf Karagila

Du hast es vermasselt, weil $A\times\varnothing$ ist die leere Menge. Also nur wenn $A$ leer ist, existiert auch eine solche Funktion.

Detektiv König

Hi, meiner Meinung nach geht es nicht darum, ob

A \times B

$A \times B$ leer ist oder nicht. Der Unterschied kommt wann

B \times A = \emptyset

$B \times A = \varnothing$ .Ich habe meinen Beitrag aktualisiert und mehr über das Problem erklärt. Ich hoffe, Sie könnten einen Blick darauf werfen.

Asaf Karagila

Detektiv König,

F : A \to B

$F\colon A\to B$ bedeutet, dass (1)

F

$F$ ist eine Funktion (eine Menge geordneter Paare mit einer bestimmten Eigenschaft); (2) die Domäne von

F

$F$ ist alles _

A

$A$ . Also wenn

F \subseteq \emptyset

$F\subseteq\varnothing$ es ist notwendigerweise der Fall, dass die Domäne von

F

$F$ leer ist, also wenn

A

$A$ ist nicht leer,

F

$F$ ist keine Funktion, deren Definitionsbereich ist

A

$A$ selbst; aber falls

A

$A$ ist leer (egal was

B

$B$ ist), dann ist es eine Funktion, deren Definitionsbereich ist

A

$A$ . So

\emptyset \subseteq \emptyset \times A

$\varnothing\subseteq\varnothing\times A$ ist eine Funktion aus

\emptyset

$\varnothing$ Zu

A

$A$ ; Aber

\emptyset \subseteq A \times \emptyset

$\varnothing\subseteq A\times\varnothing$ muss keine Funktion von sein

A

$A$ Zu

\emptyset

$\varnothing$ .

Detektiv König

@AsafKragila Ich glaube, ich bekomme eine Idee in deinem Kommentar. Also, wenn lass

F

$F$ ein Satz mit einer Eigenschaft zu sein, um eine Funktion über den Satz mit der im Beitrag angegebenen Bedingung zu beschreiben. Der Satz existiert und ist leer. Aber der Satz

F

$F$ passt nicht zur Eigenschaft im Set

B^{A}

$B^A$ , ist das richtig?

Asaf Karagila

Nach sorgfältigem erneutem Lesen Ihrer Frage scheinen Sie dies mit dem Axiom der Spezifikation argumentieren zu wollen

B^{A}

$B^A$ existiert, aber Sie verstehen nicht, warum es nicht leer ist. Aber du hast geschrieben

F

$F$ sowohl für diese Menge als auch für ihre Elemente. Ja, die Spezifikation impliziert das

B^{A}

$B^A$ existiert, aber wir können beweisen, dass nein

F \subseteq A \times B

$F\subseteq A\times B$ die Voraussetzungen für eine Mitgliedschaft erfüllt

B^{A}

$B^A$ , also ist diese Menge leer.

Andrés E. Caicedo

@AsafKaragila Nein, das ist nicht wirklich der Versuch. Es ist natürlich nicht wirklich ein Versuch, aber der Glaube ist, dass jede Funktion von jeder Menge zu jeder anderen Menge durch Spezifikation definiert werden kann, einfach gesagt

F = {(x, y) ∣ \exists x \in A \exists y \in B \forall x \in A \exists! y \in B}

$F=\{(x,y)\mid\exists x\in A\exists y\in B\forall x\in A\exists!y\in B\}$ , was natürlich völlig bedeutungslos ist.

Detektiv König

@AsafKragila Danke für die Erklärung. Ich glaube, ich weiß, was hier vor sich geht. Und ich bin ziemlich schockiert, dass dieses Ding, das seine Eigenschaft in seinem eigenen Körper beschreibt, seine Existenz nicht beschreiben kann.

Detektiv König

@AndresCaicedo Vielleicht weiß ich jetzt, was das Problem ist, wenn ich nichts falsch mache. Es ist wie beim Schreiben

1 / 0

$1/0$ wenn es um reelle Zahlen geht. Nun, das Buch, das ich gerade lese, betont die Probleme nicht, nachdem es eine Definition einer Funktion gegeben hat. Vielleicht nimmt es an, dass der Leser das Problem selbst behandelt, aber ich konnte nicht. Trotzdem danke für die Kommentar.

Ei · Answer 3

Eine Funktion $f\colon A\to B$ ist eine Teilmenge von $A\times B$ so dass

für jeden $a\in A$ , es existiert $b\in B$ so dass $(a,b)\in f$ ;
für jeden $b,b'\in B$ , falls vorhanden $a\in A$ mit $(a,b)\in f$ Und $(a,b')\in f$ , Dann $b=b'$ .

Die erste Bedingung drückt aus, dass jedes Element in $A$ hat ein Bild drin $B$ . Die zweite Bedingung drückt aus, dass ein solches Bild durch das Element im Definitionsbereich eindeutig bestimmt ist. Also wenn $a\in A$ , wir können schreiben $f(a)$ um das eindeutige Element in zu bezeichnen $B$ so dass $(a,f(a))\in f$ .

Nun, wenn $B=\emptyset$ , wir haben $f\subset A\times\emptyset=\emptyset$ , So $f$ ist leer. So jedes Element von $A$ hat kein Bild drin $B$ unter $f$ , also eine Funktion $f\colon A\to\emptyset$ kann nur existieren, wenn auch $A$ ist leer.

Im Gegenteil, wenn $A=\emptyset$ , Bedingung 1 kann für kein Element von fehlschlagen $\emptyset$ , das keine Elemente hat; auch Bedingung 2 kann nicht fehlschlagen, also gibt es tatsächlich eine Funktion $f\colon \emptyset\to B$ . Es ist einzigartig, weil $f\subseteq \emptyset\times B=\emptyset$ , So $f=\emptyset$ .

Marco Vergura · Answer 4

Gegebene Sets $A$ Und $B$ , eine Funktion aus $A$ Zu $B$ ist eine Teilmenge $f\subseteq A\times B$ so dass

\forall A \in A \exists! B \in B ((A, B) \in F) .

$\forall a\in A\ \exists ! b\in B\ ((a,b)\in f).$

Also wenn $A\neq\emptyset$ Und $B=\emptyset$ , keine Funktion $f$ existiert, da gegeben irgendwelche $a\in A$ Sie können keine finden $b\in B$ mit $(a,b)\in A\times B$ , als $A\times B$ ist leer.

Ich denke, das Problem ist hier. Wenn Sie sagen $f$ Ist eine Teilmenge dann tritt das Problem auf. Ich habe meinen Beitrag aktualisiert.

David · Answer 5

Ich finde du verkomplizierst die Dinge zu sehr. Lassen $A$ eine nichtleere Menge sein und lassen $f:A \rightarrow \emptyset$ eine Funktion sein.

Betrachten wir nun ein beliebiges Element von $A$ und ruf es an $x$ .

Dann $f(x) \in \emptyset$ , quod est absurdum.

Aber es gibt kein solches Problem, wenn die Domäne leer ist

MarnixKlooster ReinstateMonica · Answer 6

$\newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\notag \\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \notag \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\notag \end{align}}$ Im Wesentlichen sagt Enderton das

\begin{matrix} (0) & F ist eine Funktion \land Dom F \neq \emptyset \land lief F = \emptyset \end{matrix}

$\tag{0} F\text{ is a function} \;\land\; \text{dom }F \not= \emptyset \;\land\; \text{ran }F = \emptyset$ ist falsch. Und aus dem, was ich in der Frage gelesen habe, und aus Ausschnitten in den Interwebs (z. B. http://tedsider.org/teaching/st/st_notes.pdf ), sind seine Definitionen für Domäne und Bereich

\begin{aligned} Dom F & = {X ∣ ⟨ \exists j :: X F j ⟩} \\ lief F & = {j ∣ ⟨ \exists X :: X F j ⟩} \end{aligned}

$\begin{align} \text{dom }F & \;=\; \{x \mid \langle \exists y :: xFy \rangle \} \\ \text{ran }F & \;=\; \{y \mid \langle \exists x :: xFy \rangle \} \\ \end{align}$

Nun, was bedeutet das $\;\text{dom }F \not= \emptyset\;$ ?

\begin{aligned} Dom F \neq \emptyset \\ \equiv & „Grundeigenschaft von \emptyset " \\ ⟨ \exists X :: X \in Dom F ⟩ \\ \equiv & „Die obige Definition von Dom " \\ ⟨ \exists X :: ⟨ \exists j :: X F j ⟩ ⟩ \end{aligned}

$\calc \text{dom }F \not= \emptyset \calcop{\equiv}{basic property of $\;\emptyset\;$} \langle \exists x :: x \in \text{dom }F \rangle \calcop{\equiv}{the above definition of $\;\text{dom}\;$} \langle \exists x :: \langle \exists y :: xFy \rangle \rangle \endcalc$

Ähnlich,

\begin{aligned} lief F = \emptyset \\ \equiv & „Grundeigenschaft von \emptyset " \\ \neg ⟨ \exists j :: j \in lief F ⟩ \\ \equiv & „Die obige Definition von lief " \\ \neg ⟨ \exists j :: ⟨ \exists X :: X F j ⟩ ⟩ ⟩ \end{aligned}

$\calc \text{ran }F = \emptyset \calcop{\equiv}{basic property of $\;\emptyset\;$} \lnot\langle \exists y :: y \in \text{ran }F \rangle \calcop{\equiv}{the above definition of $\;\text{ran}\;$} \lnot\langle \exists y :: \langle \exists x :: xFy \rangle \rangle \rangle \endcalc$

Daher haben wir einen Widerspruch:

\begin{aligned} Dom F \neq \emptyset \land lief F = \emptyset \\ \equiv & "die obigen Berechnungen" \\ ⟨ \exists X, j :: X F j ⟩ \land \neg ⟨ \exists X, j :: X F j ⟩ \\ \equiv & "Logik: Widerspruch" \\ FALSCH \end{aligned}

$\calc \text{dom }F \not= \emptyset \;\land\; \text{ran }F = \emptyset \calcop{\equiv}{the above calculations} \langle \exists x, y :: xFy \rangle \;\land\; \lnot \langle \exists x, y :: xFy \rangle \calcop{\equiv}{logic: contradiction} \text{false} \endcalc$

und daraus folgt direkt $(0)$ ist falsch, unabhängig von der Definition von "Funktion" .

Es gibt also (unter Verwendung von Endertons Definitionen) nicht einmal eine Beziehung $\;F\;$ mit einem nicht leeren Definitionsbereich und einem leeren Bereich, und daher (da jede Funktion eine Relation ist) gibt es auch keine Funktion mit einem nicht leeren Definitionsbereich und einem leeren Bereich.

Beachten Sie, wie keine festen Sätze $\;A\;$ oder $\;B\;$ wurden bisher erwähnt.

Enderton kürzt dann ab

F : A \to B \equiv F ist eine Funktion \land Dom F = A \land lief F \subseteq B

$F : A \to B \;\equiv\; F\text{ is a function} \;\land\; \text{dom }F = A \;\land\; \text{ran }F \subseteq B$ Beachten Sie, dass diese Definition hinsichtlich Domäne und Bereich asymmetrisch ist:

F : A \to \emptyset

$\;F : A \to \emptyset\;$ ist falsch für nicht leer

A

$\;A\;$ (wie wir gerade oben bewiesen haben), aber

F : \emptyset \to B

$\;F : \emptyset \to B\;$ ist wahr gdw

F = \emptyset

$\;F = \emptyset\;$ (seit

\emptyset is a function

$\;\emptyset\text{ is a function}\;$ ), unabhängig vom Wert von

B

$\;B\;$ . Dies ist genau die in der Frage festgestellte Asymmetrie.

Warum gibt es keine Funktion mit einer nicht leeren Domäne und einem leeren Bereich?

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